यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल बताता है कि जब आप एक निष्पक्ष छह-भुजा वाले पासे को n बार फेंकते हैं (या एक साथ n पासे फेंकते हैं), तो कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता कितनी है। ठीक एक, दो, तीन... छक्के आने की संभावनाओं को जोड़ने के बजाय यह कहीं आसान पूरक नियम (complement rule) का इस्तेमाल करता है: "कम से कम एक छक्का" का उल्टा है "एक भी छक्का नहीं"।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
फेंकने की संख्या (या पासों की संख्या) n दर्ज करें और प्रायिकता को प्रतिशत और दशमलव दोनों रूपों में देख लें। नतीजा यह भी दिखाता है कि कोई छक्का न आने की पूरक संभावना कितनी है — ये दोनों प्रायिकताएँ मिलकर हमेशा 1 के बराबर होती हैं।
फ़ॉर्मूला समझें
एक निष्पक्ष पासे पर छक्का न आने की संभावना \(\frac{5}{6}\) होती है। चूँकि हर बार फेंकना एक-दूसरे से स्वतंत्र होता है, इसलिए सभी n बार छक्का न आने की संभावना \(\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\) होती है। इस तरह कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता इसका पूरक है:
$$P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए n = 4 बार फेंकना है: \(\left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{625}{1296} \approx 0.482253\)। यानी कोई छक्का न आने की प्रायिकता लगभग 48.23% है, और कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता \(1 - 0.482253 = 0.517747\), यानी लगभग 51.77% है। यही वह मशहूर समस्या है जिस पर जुआरी शेवेलियर डि मेरे ने दाँव लगाया था — 50% से थोड़ा सा ज़्यादा बढ़त।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कितनी बार फेंकने पर छक्का आने की संभावना आधे से ज़्यादा हो जाती है? चार बार फेंकने पर यह करीब 51.8% होती है, जबकि तीन बार फेंकने पर सिर्फ़ करीब 42.1%। इसलिए चार ही सबसे छोटी n है जो 50% को पार करती है।
क्या एक पासे को n बार फेंकने और n पासों को एक बार फेंकने में फ़र्क पड़ता है? नहीं। जब तक पासे निष्पक्ष और स्वतंत्र हैं, प्रायिकता बिल्कुल एक जैसी रहती है।
क्या मैं इसे सिर्फ़ छक्के के लिए नहीं, बल्कि किसी भी अंक के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — किसी भी एक तय अंक के आने की संभावना एक जैसी होती है, इसलिए \(P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n}\) किसी भी चुने हुए अंक के कम से कम एक बार आने पर भी लागू होता है (मानक पासे के लिए)।
