यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल यह बताता है कि जब आप किसी स्वतंत्र प्रयोग को n बार दोहराते हैं और हर बार सफलता की प्रायिकता p होती है, तो कम से कम एक बार सफलता मिलने की प्रायिकता कितनी है। इसके लिए यह पूरक नियम (complement rule) का इस्तेमाल करता है: ठीक 1, 2, 3, ... सफलताओं की प्रायिकताएँ जोड़ने के बजाय, शून्य सफलता मिलने की प्रायिकता निकालकर उसे 1 में से घटा देना कहीं ज़्यादा आसान है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

हर प्रयास में सफलता की प्रायिकता p को 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में दर्ज करें (जैसे, 10% संभावना के लिए 0.1), फिर प्रयासों की संख्या n भरें। कैलकुलेटर आपको कम से कम एक सफलता की प्रायिकता, किसी भी सफलता न मिलने की प्रायिकता, और दोनों को प्रतिशत में दिखाएगा।

सूत्र की व्याख्या

अगर हर प्रयास $(1-p)$ प्रायिकता से असफल होता है, तो सभी n स्वतंत्र प्रयास $(1-p)^{n}$ प्रायिकता से असफल होंगे। "कम से कम एक सफलता" वाली घटना ठीक "कोई सफलता नहीं" का उल्टा है, इसलिए इसकी प्रायिकता होती है:

$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$

यह तभी सही है जब प्रयास आपस में स्वतंत्र हों और हर प्रयास में प्रायिकता p समान बनी रहे।

Diagram showing the complement rule: full probability bar split into 'all failures' and 'at least one success' regions — The complement rule: 'at least one success' equals the whole probability (1) minus the chance that every trial fails.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए कोई स्लॉट गेम हर स्पिन पर p = 0.1 प्रायिकता से जीतता है, और आप n = 10 बार स्पिन करते हैं। एक बार भी न जीतने की प्रायिकता है $(1-0.1)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487$। इसलिए कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता है $1 - 0.3487 \approx 0.6513$, यानी करीब 65.13%।

Curve showing probability of at least one success rising toward 1 as number of trials n increases — As the number of trials n grows, the probability of at least one success climbs and approaches 1.

मुख्य शर्तें और चर

p — प्रति-परीक्षण सफलता की संभावना: वह संभावना कि एक एकल परीक्षण में सफलता मिले, जिसे 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है (उदाहरण के लिए 0.25 का मतलब 25% संभावना है)। यह माना जाता है कि यह प्रत्येक परीक्षण के लिए समान है।
n — परीक्षणों की संख्या: किए गए स्वतंत्र दोहरावों की गिनती। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, कम से कम एक सफलता की संभावना बढ़ती है (या समान रहती है), 1 के करीब पहुँचती है लेकिन कभी बिल्कुल 1 तक नहीं पहुँचती।
स्वतंत्र परीक्षण: ऐसे परीक्षण जिनके परिणाम एक दूसरे को प्रभावित नहीं करते; एक परीक्षण का परिणाम किसी अन्य पर संभावना $p$ को नहीं बदलता। स्वतंत्रता ही वह है जो विफलता की संभावनाओं को $(1-p)^n$ के रूप में गुणा करने की अनुमति देती है।
पूरक नियम: वह सिद्धांत कि $P(\text{घटना}) = 1 - P(\text{घटना नहीं})$। यहाँ, "कम से कम एक सफलता" "कोई सफलता नहीं" का पूरक है, इसलिए $P(\ge 1) = 1 - P(\text{कोई सफलता नहीं})$।
P(≥1) — कम से कम एक सफलता की संभावना: वह मात्रा जो यह कैलकुलेटर लौटाता है: वह संभावना कि $n$ परीक्षणों में से एक या अधिक सफल हो, जिसे $1 - (1-p)^n$ द्वारा दिया जाता है।
P(कोई सफलता नहीं): वह संभावना कि प्रत्येक परीक्षण विफल हो, जो $(1-p)^n$ के बराबर है। इसे 1 से घटाने से $P(\ge 1)$ मिलता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

हर प्रयास की प्रायिकता को सीधे जोड़ क्यों नहीं देते? प्रायिकताएँ जोड़ने पर ओवरलैप होने वाले परिणाम दोबारा गिने जाते हैं और कुल योग 1 से ज़्यादा हो सकता है। पूरक नियम इस गड़बड़ी से पूरी तरह बचा लेता है।

अगर p प्रतिशत में हो तो? पहले उसे दशमलव में बदल लें — 25% का मतलब 0.25।

क्या इसके लिए प्रयासों का स्वतंत्र होना ज़रूरी है? हाँ। अगर प्रयास एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं (बिना प्रतिस्थापन, बदलती संभावनाएँ), तो यह सरल सूत्र पूरी तरह सटीक नहीं रहता।

कम से कम एक सफलता की प्रायिकता	65.1322%
शून्य सफलता की प्रायिकता	34.8678%
प्रायिकता (दशमलव)	0.348678 none / 0.651322 at least one

n प्रयासों में कम से कम एक सफलता की प्रायिकता

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