Калькулятор вероятности хотя бы одного успеха в n испытаниях

Вероятность хотя бы одного успеха	65,1322%
Вероятность ни одного успеха	34,8678%
Вероятность (десятичная дробь)	0,348678 none / 0,651322 at least one

Что считает этот калькулятор

Этот инструмент вычисляет вероятность получить хотя бы один успех, если вы повторяете независимое испытание n раз, причём каждое испытание оканчивается успехом с вероятностью p. В основе расчёта лежит правило дополнения: вместо того чтобы складывать шансы получить ровно 1, 2, 3 и более успехов, гораздо проще найти вероятность ни одного успеха и вычесть её из единицы.

Как пользоваться

Введите вероятность успеха в одном испытании p в виде десятичной дроби от 0 до 1 (например, 0,1 для шанса 10%), затем укажите число испытаний n. Калькулятор покажет вероятность хотя бы одного успеха, вероятность того, что успехов не будет вовсе, и оба значения в процентах.

Разбор формулы

Если в одном испытании неудача наступает с вероятностью $(1-p)$, то все $n$ независимых испытаний окажутся неудачными с вероятностью $(1-p)^{n}$. Событие «хотя бы один успех» — это полная противоположность события «ни одного успеха», поэтому его вероятность равна:

$$P(\text{at least one}) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$

Формула верна при условии, что испытания независимы, а вероятность $p$ остаётся неизменной от испытания к испытанию.

Diagram showing the complement rule: full probability bar split into 'all failures' and 'at least one success' regions — The complement rule: 'at least one success' equals the whole probability (1) minus the chance that every trial fails.

Пример расчёта

Предположим, в игровом автомате каждый спин приносит выигрыш с вероятностью $p = 0{,}1$, и вы делаете $n = 10$ спинов. Вероятность ни разу не выиграть составляет $$(1-0{,}1)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487.$$ Тогда вероятность выиграть хотя бы один раз равна $$1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513,$$ то есть около 65,13%.

Curve showing probability of at least one success rising toward 1 as number of trials n increases — As the number of trials n grows, the probability of at least one success climbs and approaches 1.

Частые вопросы

Почему нельзя просто сложить вероятности каждого испытания? При сложении пересекающиеся исходы учитываются дважды, и сумма может превысить 1. Правило дополнения полностью снимает эту проблему.

А если p задана в процентах? Сначала переведите её в десятичную дробь: 25% — это 0,25.

Обязательно ли, чтобы испытания были независимыми? Да. Если испытания влияют друг на друга (выбор без возвращения, меняющиеся шансы), эта простая формула перестаёт давать точный результат.

Ключевые термины и переменные

p — вероятность успеха в одном испытании: Вероятность того, что один результат испытания будет успешным, выраженная в виде десятичной дроби между 0 и 1 (например, 0,25 для 25% шанса). Предполагается, что она одинакова для каждого испытания.
n — количество испытаний: Количество независимых повторений, выполняемых. По мере увеличения $n$ вероятность по крайней мере одного успеха увеличивается (или остаётся той же), приближаясь, но никогда не достигая ровно 1.
Независимые испытания: Испытания, исходы которых не влияют друг на друга; результат одного испытания не изменяет вероятность $p$ ни в каком другом. Независимость — это то, что позволяет перемножать вероятности отсутствия успеха в виде $(1-p)^n$.
Правило дополнения: Принцип, согласно которому $P(\text{событие}) = 1 - P(\text{не событие})$. Здесь «по крайней мере один успех» дополняет «вообще никаких успехов», поэтому $P(\ge 1) = 1 - P(\text{никаких успехов})$.
P(≥1) — вероятность по крайней мере одного успеха: Величина, которую возвращает этот калькулятор: вероятность того, что одно или более из $n$ испытаний будет успешным, определяемая выражением $1 - (1-p)^n$.
P(никаких успехов): Вероятность того, что все испытания закончатся неудачей, равная $(1-p)^n$. Вычитание этого из 1 даёт $P(\ge 1)$.