ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة احتمال الحصول على نجاح واحد على الأقل عند تكرار محاولة مستقلة n مرة، بحيث تنجح كل محاولة باحتمال p. وتعتمد على قاعدة المتمم: فبدلًا من جمع احتمالات الحصول على نجاح واحد، ثم اثنين، ثم ثلاثة، وهكذا، يكون من الأسهل بكثير حساب احتمال عدم تحقيق أي نجاح ثم طرحه من 1.
كيفية الاستخدام
أدخل احتمال النجاح في المحاولة الواحدة p كقيمة عشرية بين 0 و1 (مثلًا 0.1 لاحتمال نسبته 10%)، ثم أدخل عدد المحاولات n. تعرض لك الحاسبة احتمال تحقيق نجاح واحد على الأقل، واحتمال عدم تحقيق أي نجاح، وكلا القيمتين بصيغة النسبة المئوية.
شرح القانون
إذا كان احتمال فشل المحاولة الواحدة هو \((1-p)\)، فإن احتمال فشل جميع المحاولات المستقلة الـ n معًا هو \((1-p)^{n}\). وبما أن حدث "نجاح واحد على الأقل" هو النقيض التام لحدث "عدم تحقيق أي نجاح"، فإن احتماله يساوي:
$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
ويفترض هذا أن المحاولات مستقلة وأن الاحتمال p يبقى ثابتًا في كل محاولة.
مثال محلول
لنفترض أن لعبة سلوت تربح باحتمال p = 0.1 في كل دورة، وأنك أدرت العجلة n = 10 مرات. احتمال عدم الفوز إطلاقًا هو $$(1-0.1)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487.$$ وبذلك يكون احتمال الفوز مرة واحدة على الأقل هو $$1 - 0.3487 \approx 0.6513,$$ أي نحو 65.13%.
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- p — احتمال النجاح في كل محاولة
- الاحتمال الذي تؤدي فيه محاولة واحدة إلى نجاح، معبراً عنه كرقم عشري بين 0 و 1 (على سبيل المثال 0.25 لاحتمال 25%). يُفترض أن يكون متساوياً لكل محاولة.
- n — عدد المحاولات
- عدد التكرارات المستقلة التي تُجرى. كلما زادت قيمة \(n\)، زاد احتمال وجود نجاح واحد على الأقل (أو ظل كما هو)، ويقترب ولا يصل أبداً بالضبط من 1.
- المحاولات المستقلة
- المحاولات التي لا تؤثر نتائجها على بعضها البعض؛ نتيجة محاولة واحدة لا تغير الاحتمال \(p\) في أي محاولة أخرى. الاستقلالية هي ما يسمح بضرب احتمالات الفشل كـ \((1-p)^n\).
- قاعدة المتمم
- المبدأ الذي ينص على أن \(P(\text{الحدث}) = 1 - P(\text{ليس الحدث})\). هنا، "نجاح واحد على الأقل" هو متمم "عدم وجود نجاحات على الإطلاق"، وهذا هو السبب في أن \(P(\ge 1) = 1 - P(\text{عدم وجود نجاحات})\).
- P(≥1) — احتمال وجود نجاح واحد على الأقل
- الكمية التي تُرجعها هذه الآلة الحاسبة: فرصة نجاح محاولة واحدة أو أكثر من \(n\) محاولة، معطاة بواسطة \(1 - (1-p)^n\).
- P(عدم وجود نجاحات)
- احتمال فشل كل محاولة، يساوي \((1-p)^n\). بطرح هذا من 1، نحصل على \(P(\ge 1)\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا نكتفي بجمع احتمالات كل محاولة؟ لأن جمع الاحتمالات يؤدي إلى حساب النتائج المتداخلة أكثر من مرة، وقد تتجاوز النتيجة 1. أما قاعدة المتمم فتتجنب هذه المشكلة تمامًا.
ماذا لو كان p نسبة مئوية؟ حوّلها أولًا إلى قيمة عشرية — فمثلًا 25% تصبح 0.25.
هل يشترط أن تكون المحاولات مستقلة؟ نعم. فإذا كانت المحاولات تؤثر في بعضها (مثل السحب دون إرجاع أو تغيّر الاحتمالات)، فلا ينطبق هذا القانون البسيط بدقة.
