ما المقصود باحتمال وقوع الحدث مرة واحدة على الأقل؟
يخبرك "احتمال وقوع الحدث مرة واحدة على الأقل" بمدى احتمال حدوث أمرٍ ما مرة أو أكثر عند تكرار التجربة عدة مرات. وحتى عندما يكون احتمال وقوع الحدث في المرة الواحدة ضعيفًا، فإن تكرار التجربة مرات كثيرة قد يجعل وقوعه مرة واحدة على الأقل شبه مؤكد. تعتمد هذه الحاسبة على قاعدة المتمم البسيطة في حالة المحاولات المستقلة.
القانون
إذا كان لكل محاولة الاحتمال نفسه p للنجاح، وكانت المحاولات مستقلة عن بعضها، فإن:
$$P(\text{at least one}) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
الحيلة هنا أن نحسب أولًا الحالة المعاكسة الأسهل. فاحتمال عدم وقوع الحدث في محاولة واحدة هو \((1 - p)\)، وعبر n محاولة مستقلة يصبح \((1 - p)^{n}\). وبطرح هذه القيمة من 1 نحصل على احتمال وقوعه مرة واحدة على الأقل.
كيفية الاستخدام
أدخل احتمال المحاولة الواحدة p على هيئة عدد عشري بين 0 و1 (مثلًا، 0.1 تعني احتمالًا قدره 10%)، ثم عدد المحاولات n. تعرض لك الحاسبة احتمال وقوع الحدث مرة واحدة على الأقل، على هيئة عدد عشري ونسبة مئوية معًا، إضافة إلى احتمال عدم وقوعه إطلاقًا.
مثال محلول
لنفترض أن رمية نرد واحدة يبلغ فيها احتمال ظهور الرقم ستة \(1/6 \approx 0.1667\)، وأنك رميت النرد 4 مرات. احتمال عدم ظهور الستة هو $$(1 - 0.1667)^{4} = (0.8333)^{4} \approx 0.4823.$$ ومن ثَمّ يكون احتمال ظهور الستة مرة واحدة على الأقل \(1 - 0.4823 \approx 0.5177\)، أي نحو 51.8%.
الأسئلة الشائعة
هل يفترض هذا القانون أن المحاولات مستقلة؟ نعم. يجب أن تكون كل محاولة مستقلة وأن يكون لها الاحتمال نفسه p. وإذا كانت النتائج تؤثر في بعضها، فلا ينطبق هذا القانون مباشرة.
هل يمكن أن تكون قيمة p نسبة مئوية؟ حوّلها أولًا إلى عدد عشري — فالنسبة 25% تصبح 0.25.
لماذا نحسب المتمم؟ لأن حساب احتمال "ألا يقع الحدث إطلاقًا" يكون حاصل ضرب واحد فقط، وهو أسهل بكثير من جمع احتمالات وقوعه مرة واحدة بالضبط، ومرتين بالضبط، وهكذا.
