ما هو متوسط مربع الخطأ؟
يُعَدّ متوسط مربع الخطأ (MSE) من أكثر المقاييس استخدامًا لتقدير مدى قُرب مجموعة من التنبؤات من القيم الفعلية المرصودة. ويعمل عبر حساب متوسط مربعات الفروق بين كل قيمة متوقَّعة (ŷ) والقيمة الفعلية المقابلة لها (y). وبما أنّ الأخطاء تُربَّع، فإنّ الأخطاء الكبيرة تُعاقَب بشكل أشدّ من الصغيرة، كما أنّ الناتج لا يكون سالبًا أبدًا — والنموذج المثالي يحصل على قيمة 0 بالضبط.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخِل القيم الفعلية والقيم المتوقَّعة على هيئة قائمتين مفصولتين بفواصل. يجب أن تكون القائمتان بالطول نفسه، بحيث تتطابق كل قيمة متوقَّعة مع القيمة الفعلية في الموضع ذاته. تقوم الحاسبة بإقران القيم وفق الترتيب، ثم تحسب مربع الخطأ لكل زوج، وتعرض لك قيمة MSE إلى جانب RMSE (جذر متوسط مربع الخطأ) و SSE (مجموع مربعات الأخطاء). وإذا اختلف طول القائمتين، تُستخدَم الأزواج المتطابقة فقط.
شرح المعادلة
صيغة متوسط مربع الخطأ هي $$\text{MSE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2$$ فلكل نقطة بيانات تطرح القيمة المتوقَّعة من القيمة الفعلية، ثم تربّع هذا الفرق، وتجمع كل الفروق المربَّعة معًا (وهذا هو SSE)، وأخيرًا تقسم الناتج على عدد النقاط \(n\). وأخذ الجذر التربيعي لـ MSE يعطيك RMSE، وهو مفيد لأنّه يأتي بالوحدة نفسها التي للبيانات الأصلية.
مثال تطبيقي
لنفترض أنّ القيم الفعلية هي 3 و−0.5 و2 و7، وأنّ القيم المتوقَّعة هي 2.5 و0.0 و2 و8. عندئذٍ تكون الأخطاء 0.5 و−0.5 و0 و−1. وبتربيعها نحصل على 0.25 و0.25 و0 و1، ومجموعها 1.5 (وهو SSE). وبالقسمة على \(n = 4\) يكون متوسط مربع الخطأ 0.375، ويكون RMSE هو \(\sqrt{0.375} \approx 0.6124\).
الأسئلة الشائعة
ما هي قيمة MSE الجيدة؟ لا توجد عتبة موحَّدة، فقيمة MSE تعتمد على مقياس بياناتك. وكلما كانت أصغر كان ذلك أفضل، والقيمة 0 تعني تطابقًا تامًّا. قارِنها بنماذج بديلة أو بتباين القيمة المستهدَفة.
ما الفرق بين MSE و RMSE؟ ببساطة، RMSE هو الجذر التربيعي لـ MSE. وغالبًا ما يُفضَّل استخدام RMSE في عرض النتائج لأنّه يأتي بوحدة البيانات نفسها ويكون أسهل في التفسير.
لماذا نربّع الأخطاء بدلًا من استخدام القيم المطلقة؟ التربيع يجعل الدالة ملساء وقابلة للاشتقاق (وهو أمر مفيد في عمليات التحسين)، كما أنّه يعاقب الأخطاء الكبيرة بشكل أشدّ. أمّا البديل، وهو متوسط الخطأ المطلق (MAE)، فيعامل جميع الأخطاء بشكل خطّي.
