ماذا تفعل هذه الحاسبة
إذا أعطيت ثلاث نقاط في المستوى، فهناك دائرة واحدة فقط تمر بها جميعًا — شرط ألا تقع النقاط الثلاث على خط مستقيم واحد. تتولى هذه الأداة إيجاد تلك الدائرة الوحيدة، فتعطيك مركزها (h، k)، ونصف قطرها r، والمعادلة القياسية \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)، إضافة إلى مساحة الدائرة ومحيطها.
طريقة الاستخدام
أدخل الإحداثيين x وy لكل نقطة من النقاط الثلاث، ثم اضغط على زر الحساب. تعرض النتيجة معادلة الدائرة كاملة مع جدول يضم إحداثيي المركز ونصف القطر والمساحة والمحيط. وإذا تصادف أن كانت النقاط الثلاث على استقامة واحدة، تنبهك الحاسبة إلى عدم وجود دائرة وحيدة تمر بها.
شرح القانون
كل نقطة على الدائرة تحقق المعادلة \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). وعند طرح المعادلات مثنى مثنى تُحذف الحدود التربيعية، فنحصل على معادلتين خطيتين في h وk — وهما هندسيًا المحوران العموديان المنصِّفان لوترين، ويتقاطعان عند المركز. وباستعمال \(S = x^2 + y^2\) لكل نقطة والمحدِّد \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) يُحسب المركز مباشرة. وإذا كان \(D = 0\) فإن النقاط واقعة على خط مستقيم. أما نصف القطر فهو ببساطة المسافة من المركز إلى أي من النقاط.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ النقاط (0,0) و(4,0) و(0,4). بحكم التماثل يكون المركز عند (2,2)، ونصف القطر يساوي \(\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828\). وعليه تكون المعادلة \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\)، بمساحة تقارب 25.13 ومحيط يقارب 17.77.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت نقاطي على خط مستقيم؟ عندئذٍ لا توجد دائرة وحيدة تمر بها، لأن المحورين المنصِّفين يكونان متوازيين (\(D = 0\))، فتُظهر الأداة تنبيهًا بذلك.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة أو عشرية؟ نعم. أي إحداثيات حقيقية مقبولة، بما في ذلك القيم السالبة والكسور العشرية.
لماذا يقع المركز أحيانًا خارج المثلث؟ يقع مركز الدائرة المحيطة (وهو مركز هذه الدائرة) خارج المثلث كلما كان المثلث منفرج الزاوية — وهذا أمر طبيعي.
