Công cụ này làm gì?
Khi cho ba điểm trên mặt phẳng, luôn tồn tại đúng một đường tròn đi qua cả ba điểm đó — với điều kiện ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. Công cụ này sẽ tìm ra đường tròn duy nhất ấy, đồng thời trả về tâm \((h, k)\), bán kính \(r\), phương trình chính tắc \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), cùng với diện tích và chu vi của đường tròn.
Cách sử dụng
Nhập hoành độ \(x\) và tung độ \(y\) của cả ba điểm, sau đó nhấn nút tính. Kết quả sẽ hiển thị phương trình đầy đủ của đường tròn cùng một bảng gồm tọa độ tâm, bán kính, diện tích và chu vi. Nếu ba điểm tình cờ thẳng hàng, công cụ sẽ báo cho bạn biết rằng không tồn tại đường tròn duy nhất.
Giải thích công thức
Mỗi điểm nằm trên đường tròn đều thỏa mãn \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Khi trừ từng cặp phương trình cho nhau, các số hạng bậc hai bị triệt tiêu, ta thu được hai phương trình bậc nhất theo \(h\) và \(k\) — về mặt hình học, đây chính là hai đường trung trực của hai dây cung, và chúng cắt nhau tại tâm đường tròn. Đặt \(S = x^2 + y^2\) cho mỗi điểm và định thức $$D = 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right],$$ ta tìm được tọa độ tâm một cách trực tiếp.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{trong đó}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right.$$
Nếu \(D = 0\) thì ba điểm thẳng hàng. Khi đó, bán kính đơn giản là khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trong ba điểm.
Ví dụ minh họa
Xét ba điểm \((0,0)\), \((4,0)\) và \((0,4)\). Nhờ tính đối xứng, tâm đường tròn là \((2,2)\). Bán kính bằng $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}828.$$ Vậy phương trình là $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8,$$ với diện tích \(\approx 25{,}13\) và chu vi \(\approx 17{,}77\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu ba điểm của tôi nằm trên một đường thẳng thì sao? Khi đó không có đường tròn duy nhất nào đi qua chúng — các đường trung trực sẽ song song với nhau (\(D = 0\)) và công cụ sẽ hiển thị cảnh báo.
Tôi có thể dùng tọa độ âm hoặc số thập phân không? Hoàn toàn được. Mọi tọa độ thực đều dùng được, kể cả số âm và số thập phân.
Tại sao đôi khi tâm lại nằm ngoài tam giác? Tâm đường tròn ngoại tiếp (chính là tâm của đường tròn này) sẽ nằm ngoài tam giác mỗi khi tam giác đó là tam giác tù — đây là điều hoàn toàn bình thường.
