이 계산기의 기능
평면 위에 세 점이 주어지면, 그 세 점을 모두 지나는 원은 단 하나뿐입니다. 단, 세 점이 한 직선 위에 있지 않아야 합니다. 이 도구는 그 유일한 원을 구해 중심 \((h, k)\), 반지름 \(r\), 표준 방정식 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)은 물론 원의 넓이와 둘레까지 함께 알려줍니다.
사용 방법
세 점의 x좌표와 y좌표를 각각 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 결과에는 완성된 원의 방정식과 함께 중심 좌표, 반지름, 넓이, 둘레가 표로 정리되어 표시됩니다. 만약 세 점이 한 직선 위에 놓여 있다면, 유일한 원이 존재하지 않는다는 안내가 나타납니다.
공식 풀이
원 위의 모든 점은 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)을 만족합니다. 두 점의 방정식을 서로 빼면 제곱항이 사라지고, h와 k에 대한 두 개의 일차방정식이 남습니다. 기하학적으로 이는 두 현(弦)의 수직이등분선이며, 이 두 선이 만나는 점이 바로 원의 중심입니다. 각 점에 대해 \(S = x^2 + y^2\)로 두고, 행렬식 \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\)를 이용하면 중심을 곧바로 구할 수 있습니다. \(D = 0\)이면 세 점은 한 직선 위에 있습니다. 반지름은 중심에서 임의의 한 점까지의 거리로 간단히 계산됩니다.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제 풀이
점 \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,4)\)를 살펴봅시다. 대칭성에 의해 중심은 \((2,2)\)입니다. 반지름은 $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828$$이 됩니다. 따라서 방정식은 \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\)이며, 넓이는 약 25.13, 둘레는 약 17.77입니다.
자주 묻는 질문
세 점이 한 직선 위에 있으면 어떻게 되나요? 그 경우에는 세 점을 지나는 유일한 원이 존재하지 않습니다. 수직이등분선들이 서로 평행해지므로(\(D = 0\)), 계산기는 경고 메시지를 표시합니다.
음수나 소수 좌표도 사용할 수 있나요? 네. 음수와 소수를 포함한 모든 실수 좌표를 사용할 수 있습니다.
중심이 삼각형 바깥에 생기는 이유는 무엇인가요? 이 원의 중심(외심)은 삼각형이 둔각삼각형일 때 삼각형 바깥에 위치합니다. 이는 정상적인 현상입니다.
