このツールでできること
平面上に3つの点があるとき、それらすべてを通る円はただ1つに定まります（ただし3点が一直線上に並んでいない場合に限ります）。本ツールはその唯一の円を求め、中心 \((h, k)\)、半径 \(r\)、標準形の方程式 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) に加えて、円の面積と円周まで一度に算出します。
使い方
3つの点それぞれの x 座標と y 座標を入力し、「計算する」をクリックします。結果には円の方程式の全体と、中心の座標・半径・面積・円周をまとめた一覧表が表示されます。もし3点が一直線上に並んでいる場合は、円が一意に定まらない旨をツールが知らせてくれます。
計算式の解説
円上の各点は \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) を満たします。これらの式を2つずつ引き算すると2乗の項が消え、\(h\) と \(k\) に関する2本の1次方程式が得られます。これは幾何的には2本の弦の垂直二等分線にあたり、その交点が円の中心になります。各点について \(S = x^2 + y^2\) を、また判別式 \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) を用いると、中心を直接求めることができます。\(D = 0\) のときは3点が一直線上にあることを意味します。半径は、求めた中心から任意の1点までの距離として簡単に算出できます。
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right.$$
計算例
3点 \((0,0)\)、\((4,0)\)、\((0,4)\) を考えます。対称性から中心は \((2,2)\) になります。半径は $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828$$ です。したがって方程式は \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\) となり、面積は約 25.13、円周は約 17.77 となります。
よくある質問
3点が一直線上に並んでいる場合はどうなりますか？ その場合、3点を通る円は一意に定まりません。垂直二等分線が平行になり（\(D = 0\)）、ツールは警告メッセージを表示します。
負の数や小数の座標も使えますか？ はい。負の数や小数を含め、任意の実数の座標が利用できます。
中心が三角形の外側になることがあるのはなぜですか？ この円の中心（外心）は、三角形が鈍角三角形のときに三角形の外側に位置します。これは正常な結果です。
