Qué hace esta calculadora
Dados tres puntos en el plano, existe un único círculo que pasa por todos ellos, siempre que los puntos no estén alineados sobre una misma recta. Esta herramienta resuelve ese círculo único y te devuelve su centro (h, k), el radio r, la ecuación estándar \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), además del área y la circunferencia del círculo.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas x e y de los tres puntos y pulsa calcular. El resultado muestra la ecuación completa del círculo y una tabla con las coordenadas del centro, el radio, el área y la circunferencia. Si los tres puntos resultan estar alineados, la calculadora te avisará de que no existe ningún círculo único.
La fórmula explicada
Todo punto de un círculo cumple \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Al restar las ecuaciones por parejas, los términos al cuadrado se eliminan y quedan dos ecuaciones lineales en \(h\) y \(k\); geométricamente, estas son las mediatrices de dos cuerdas, que se cortan precisamente en el centro. Usando \(S = x^2 + y^2\) para cada punto y el determinante $$D = 2\left[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right],$$ el centro se obtiene de forma directa. Si \(D = 0\), los puntos están alineados. El radio es entonces, sencillamente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos los puntos (0,0), (4,0) y (0,4). Por simetría, el centro es (2,2). El radio es \(\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}828\). Así que la ecuación es \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\), con un área \(\approx 25{,}13\) y una circunferencia \(\approx 17{,}77\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si mis puntos están en línea recta? En ese caso, ningún círculo único pasa por ellos: las mediatrices son paralelas (\(D = 0\)) y la herramienta muestra un aviso.
¿Puedo usar coordenadas negativas o con decimales? Sí. Sirve cualquier número real, incluidos negativos y decimales.
¿Por qué a veces el centro queda fuera del triángulo? El circuncentro (el centro de este círculo) cae fuera del triángulo siempre que este es obtusángulo; es algo totalmente normal.
