這個計算機能做什麼
在平面上給定三個點，只要這三點不在同一條直線上，就恰好有「唯一一個」圓會通過它們。本工具會幫你求出這個唯一的圓，並回傳圓心 \((h, k)\)、半徑 \(r\)、標準式 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)，以及圓的面積與周長。
使用方法
依序輸入三個點的 \(x\) 與 \(y\) 座標，按下「計算」。結果會顯示完整的圓方程式，並以表格列出圓心座標、半徑、面積與周長。若三點剛好共線（落在同一直線上），計算機會提示你「不存在唯一的圓」。
公式原理
圓上每一點都滿足 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。將任兩式相減，可消去平方項，得到兩條關於 \(h\) 與 \(k\) 的一次方程式——從幾何角度看，這正是兩條弦的「垂直平分線」，而它們的交點就是圓心。令每個點的 \(S = x^2 + y^2\)，並計算行列式 $$D = 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right]$$ 即可直接求得圓心。若 \(D = 0\)，代表三點共線。求出圓心後，半徑就是圓心到任一點的距離。
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right.$$
實例演練
取三點 \((0,0)\)、\((4,0)\) 與 \((0,4)\)。由對稱性可知圓心為 \((2,2)\)。半徑為 $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828$$ 因此圓方程式為 \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\)，面積約 \(25.13\)，周長約 \(17.77\)。
常見問題
如果我的三點在同一直線上會怎樣？那就沒有唯一的圓能通過它們——此時兩條垂直平分線互相平行（\(D = 0\)），工具會顯示警告訊息。
可以輸入負數或小數座標嗎？可以。任何實數座標都適用，包含負數與小數。
為什麼圓心有時會落在三角形外面？這個圓的圓心其實就是三角形的「外心」。當三角形為鈍角三角形時，外心會落在三角形外側——這是正常現象。
