यह कैलकुलेटर क्या करता है
समतल में दिए गए किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर ठीक एक ही वृत्त गुजर सकता है — बशर्ते कि वे तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर न हों। यह टूल उसी अनोखे वृत्त की गणना करता है और आपको देता है उसका केंद्र (h, k), त्रिज्या \(r\), मानक समीकरण \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), साथ ही वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों बिंदुओं के \(x\) और \(y\) निर्देशांक भरें और "Calculate" पर क्लिक करें। परिणाम में वृत्त का पूरा समीकरण और एक तालिका दिखती है जिसमें केंद्र के निर्देशांक, त्रिज्या, क्षेत्रफल और परिधि होते हैं। अगर तीनों बिंदु संरेख (एक ही रेखा पर) हुए, तो कैलकुलेटर आपको बता देगा कि कोई अनोखा वृत्त संभव नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
वृत्त पर मौजूद हर बिंदु \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) को संतुष्ट करता है। दो-दो समीकरणों को आपस में घटाने पर वर्ग वाले पद कट जाते हैं और \(h\) तथा \(k\) में दो रैखिक समीकरण मिल जाते हैं — ज्यामितीय रूप से ये दो जीवाओं के लंब समद्विभाजक हैं, जो केंद्र पर मिलते हैं। हर बिंदु के लिए \(S = x^2 + y^2\) लेकर और सारणिक \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) का उपयोग करके केंद्र सीधे निकल आता है। अगर \(D = 0\) हुआ, तो बिंदु संरेख हैं। इसके बाद त्रिज्या बस केंद्र से किसी भी एक बिंदु की दूरी होती है।
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए बिंदु (0,0), (4,0) और (0,4) हैं। सममिति (symmetry) के कारण केंद्र (2,2) होगा। त्रिज्या होगी $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828$$ तो समीकरण होगा \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\), जिसमें क्षेत्रफल ≈ 25.13 और परिधि ≈ 17.77 होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर मेरे बिंदु एक सीधी रेखा में हों तो क्या होगा? तब उनसे होकर कोई अनोखा वृत्त नहीं गुजरता — लंब समद्विभाजक समानांतर हो जाते हैं (\(D = 0\)) और टूल एक चेतावनी दिखाता है।
क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव निर्देशांक इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। कोई भी वास्तविक निर्देशांक चलेगा, चाहे वे ऋणात्मक हों या दशमलव में।
केंद्र कभी-कभी त्रिभुज के बाहर क्यों आ जाता है? इस वृत्त का केंद्र (परिकेंद्र) तब त्रिभुज के बाहर पड़ता है जब त्रिभुज अधिक कोण (obtuse) वाला होता है — यह बिल्कुल सामान्य बात है।
