这个计算器能做什么
在平面上任取三个点，只要它们不在同一条直线上，就有且仅有一个圆同时经过这三个点。本工具可以求出这个唯一的圆，输出它的圆心 \((h, k)\)、半径 \(r\)、标准方程 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)，以及该圆的面积和周长。
使用方法
依次填入三个点的 x、y 坐标，点击「计算」即可。结果会显示完整的圆方程，并用表格列出圆心坐标、半径、面积和周长。如果这三个点恰好共线，计算器会提示无法确定唯一的圆。
公式原理
圆上任意一点都满足 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。把方程两两相减，可以消去平方项，得到关于 \(h\) 和 \(k\) 的两个一次方程——从几何角度看，这正是两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心。对每个点令 \(S = x^2 + y^2\)，并计算行列式 $$D = 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right]$$ 即可直接求出圆心。若 \(D = 0\)，说明三点共线。求得圆心后，半径就是圆心到任意一点的距离。完整的求解公式为：
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
实例演示
取三个点 \((0,0)\)、\((4,0)\) 和 \((0,4)\)。由对称性可知圆心为 \((2,2)\)。半径为 $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2.828$$ 因此圆的方程为 \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\)，面积约为 \(25.13\)，周长约为 \(17.77\)。
常见问题
如果三个点在一条直线上怎么办？那么就没有唯一的圆经过它们——此时两条垂直平分线相互平行（\(D = 0\)），工具会给出相应提示。
可以使用负数或小数坐标吗？可以。任意实数坐标都支持，包括负数和小数。
为什么圆心有时会落在三角形外面？当三角形为钝角三角形时，外心（也就是这个圆的圆心）会落在三角形之外——这是正常现象。
