Что делает этот калькулятор
Через три точки на плоскости можно провести ровно одну окружность — при условии, что точки не лежат на одной прямой. Этот инструмент находит эту единственную окружность: её центр \((h, k)\), радиус \(r\), каноническое уравнение \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), а заодно площадь круга и длину окружности.
Как пользоваться
Введите координаты x и y для всех трёх точек и нажмите «Рассчитать». В ответе вы получите полное уравнение окружности и таблицу с координатами центра, радиусом, площадью и длиной окружности. Если три точки окажутся на одной прямой, калькулятор сообщит, что единственной окружности не существует.
Разбор формулы
Каждая точка окружности удовлетворяет уравнению \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Если попарно вычесть эти уравнения, квадратичные члены сократятся, и останутся два линейных уравнения относительно \(h\) и \(k\) — геометрически это серединные перпендикуляры к двум хордам, которые пересекаются в центре. Обозначив \(S = x^2 + y^2\) для каждой точки и вычислив определитель \(D = 2[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\), центр находят напрямую.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= 2\left[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= \frac{S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)}{D} \\ k &= \frac{S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)}{D} \\ r &= \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$Если \(D = 0\), точки лежат на одной прямой. Радиус после этого — просто расстояние от центра до любой из точек.
Пример с решением
Возьмём точки \((0,0)\), \((4,0)\) и \((0,4)\). В силу симметрии центр находится в точке \((2,2)\). Радиус равен $$\sqrt{(0-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}828.$$ Значит, уравнение имеет вид \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8\), площадь \(\approx 25{,}13\), а длина окружности \(\approx 17{,}77\).
Частые вопросы
Что если мои точки лежат на одной прямой? Тогда единственной окружности через них не существует — серединные перпендикуляры параллельны (\(D = 0\)), и калькулятор выдаёт предупреждение.
Можно ли вводить отрицательные или дробные координаты? Да. Подойдут любые действительные числа, в том числе отрицательные и десятичные дроби.
Почему центр иногда оказывается вне треугольника? Центр описанной окружности лежит за пределами треугольника, если треугольник тупоугольный — это нормально.
