Что считает этот калькулятор
Введите две точки на плоскости — P(x1, y1) и Q(x2, y2) — и калькулятор построит уравнение прямой, проходящей через них, в виде \(y = a\cdot x + b\) (уравнение с угловым коэффициентом). Дополнительно вы получите расстояние между точками и угол наклона прямой к оси абсцисс, который можно вывести в градусах или радианах.
Как пользоваться
Укажите координаты обеих точек. Выберите единицу измерения угла наклона — градусы (по умолчанию) или радианы. Калькулятор мгновенно вычислит угловой коэффициент \(a\), свободный член \(b\), расстояние PQ и угол \(\theta\). Координаты — это безразмерные числа, поэтому расстояние получится в тех же единицах, что и введённые данные.
Разбираем формулу
Обозначим \(dx = \text{x}_2 - \text{x}_1\) и \(dy = \text{y}_2 - \text{y}_1\). Угловой коэффициент равен \(a = dy / dx\) (отношение изменения по вертикали к изменению по горизонтали). Свободный член находится так: \(b = (\text{x}_2\cdot\text{y}_1 - \text{x}_1\cdot\text{y}_2) / (\text{x}_2 - \text{x}_1)\), что равносильно \(b = \text{y}_1 - a\cdot\text{x}_1\). Расстояние следует из теоремы Пифагора: \(d = \sqrt{dx^2 + dy^2}\). Угол наклона \(\theta = \arctan(dy / dx)\) отсчитывается от положительного направления оси X: положительный угол означает, что прямая поднимается вправо, отрицательный — что опускается.
$$y = m\,(x - \text{x}_1) + \text{y}_1$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1} \\[0.4em] d &= \sqrt{(\text{x}_2 - \text{x}_1)^2 + (\text{y}_2 - \text{y}_1)^2} \\[0.4em] \theta &= \frac{180}{\pi}\arctan(m) \end{aligned} \right.$$
Пример расчёта
Возьмём P(−4, −1) и Q(2, 2): \(dx = 6\), \(dy = 3\). Угловой коэффициент \(a = 3/6 = 0{,}5\). Свободный член \(b = (2\cdot(-1) - (-4)\cdot 2)/6 = (-2 + 8)/6 = 1\), значит, прямая задаётся уравнением $$y = 0{,}5\cdot x + 1.$$ Расстояние \(= \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \approx 6{,}7082\). Угол \(= \arctan(0{,}5) \approx 0{,}4636\) рад \(\approx 26{,}565°\).
Частые вопросы
Что будет с вертикальной прямой? Если \(\text{x}_2 = \text{x}_1\), прямая параллельна оси Y. Записать её через угловой коэффициент нельзя, поэтому \(a\) и \(b\) обращаются в бесконечность; при этом расстояние по-прежнему равно \(|\text{y}_2 - \text{y}_1|\), а угол составляет \(\pm 90°\).
А с горизонтальной прямой? Если \(\text{y}_2 = \text{y}_1\), угловой коэффициент равен 0, угол тоже равен 0, и уравнение принимает вид \(y = b\).
Что если обе точки совпадают? Расстояние равно 0, а прямую определить невозможно: через одну точку проходит бесконечно много прямых.
