Что делает этот калькулятор
Этот инструмент находит уравнение прямой в трёхмерном пространстве, которая проходит через две заданные точки: \(A=(x_1,y_1,z_1)\) и \(B=(x_2,y_2,z_2)\). В пространстве прямую нельзя задать одной привычной формулой вида \(y=mx+b\), поэтому мы описываем её с помощью направляющего вектора, а также в параметрической и канонической формах. Дополнительно калькулятор вычисляет расстояние между двумя точками по прямой.
Формула
Направляющий вектор указывает направление от точки \(A\) к точке \(B\):
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$Если взять точку \(A\) за опорную, прямая задаётся параметрически с параметром \(t\):
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$где \(a\), \(b\), \(c\) — компоненты направляющего вектора. Каноническая форма (когда ни одна компонента не равна нулю) выглядит так: \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три координаты точки A и три координаты точки B, после чего вы получите параметрические уравнения и направляющий вектор. Параметр \(t\) пробегает все действительные числа: при \(t=0\) получается точка A, а при \(t=1\) — точка B.
Разбор примера
Возьмём \(A=(1,2,3)\) и \(B=(4,6,8)\). Направляющий вектор равен
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$значит, прямая описывается как \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\). Расстояние между точками составляет
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
Частые вопросы
Что будет, если обе точки совпадают? Направляющий вектор станет нулевым — \(\langle 0,0,0\rangle\), и единственной прямой не существует. Введите две различные точки.
Может ли компонента направляющего вектора быть нулевой? Да. Нулевая компонента означает, что прямая параллельна одной из координатных плоскостей. Параметрическая форма при этом по-прежнему работает, а в канонической форме соответствующее слагаемое опускается.
Единственно ли это уравнение? Нет. Любое уравнение, в котором направляющий вектор умножен на произвольный ненулевой множитель, а опорная точка лежит на прямой, будет равноценным.
Пошаговый расчёт
Даны две различные точки \(A=(x_1,y_1,z_1)\) и \(B=(x_2,y_2,z_2)\). Линия, проходящая через них, строится на основе вектора направления и опорной точки. Выполните следующие пять шагов.
- Вычислите компоненты вектора направления. Вычтите координаты \(A\) из \(B\):
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
тогда вектор направления равен \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). Этот вектор указывает от \(A\) в направлении \(B\). - Выберите опорную точку. Подходит любая точка на линии; простейший выбор — это \(A=(x_1,y_1,z_1)\), дающий \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\).
- Запишите параметрические уравнения. Прибавьте \(t\) раз вектор направления к опорной точке:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
При \(t=0\) вы находитесь в точке \(A\); при \(t=1\) вы находитесь в точке \(B\). - Составьте симметричные уравнения. Разрешите каждое параметрическое уравнение относительно \(t\) и приравняйте их:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
Обработка нулевых компонент: если знаменатель равен \(0\) (например, \(a=0\)), вы не можете делить на него. Вместо этого исключите это отношение и укажите ограничение непосредственно как \(x = x_1\), затем запишите симметричную форму, используя только ненулевые компоненты. - Вычислите расстояние между точками. Расстояние \(|AB|\) равно модулю вектора направления:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
Дополнительные примеры с решениями
Пример 1 — нулевая компонента направления
Пусть \(A=(2,1,5)\) и \(B=(2,4,5)\).
- Вектор направления: \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), тогда \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\).
- Параметрическая форма: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
- Симметричная форма: так как \(a=0\) и \(c=0\), отношения \(x\) и \(z\) не определены и исключаются. Линия описывается ограничениями
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ — свободна}).$$
Это линия, параллельная оси \(y\). - Расстояние: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.
Пример 2 — отрицательные координаты
Пусть \(A=(-3,2,-1)\) и \(B=(1,-4,5)\).
- Вектор направления: \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), тогда \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\).
- Параметрическая форма: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
- Симметричная форма:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}.$$ - Расстояние: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.
Пример 3 — чистая целочисленная линия
Пусть \(A=(1,0,2)\) и \(B=(4,3,2)\).
- Вектор направления: \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), тогда \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\).
- Параметрическая форма: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
- Симметричная форма (отношение \(z\) исключается, так как \(c=0\)):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2.$$ - Расстояние: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
Определения и словарь
- Вектор направления
- Вектор \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\), полученный из разностей координат \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\). Он задаёт ориентацию линии; любое ненулевое скалярное кратное ему описывает ту же линию.
- Параметрическое уравнение
- Представление \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), то есть \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). Каждое значение \(t\) дает одну точку на линии.
- Симметричная форма
- Уравнение \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), полученное разрешением каждого параметрического уравнения относительно \(t\) и приравниванием. Оно не содержит явного параметра.
- Параметр \(t\)
- Свободный скаляр, который скользит вдоль линии. \(t=0\) дает опорную точку \(A\); \(t=1\) дает \(B\); отрицательные \(t\) продлевают линию в противоположном направлении.
- Опорная точка (базовая точка)
- Любая известная точка на линии, используемая в качестве начальной позиции \((x_0,y_0,z_0)\). Выбор \(A=(x_1,y_1,z_1)\) является стандартным, но \(B\) или любая другая точка на линии равно допустимы.
- Модуль / расстояние
- Длина \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), равная модулю вектора направления, когда он построен из двух данных точек. Она измеряет прямолинейное расстояние между \(A\) и \(B\).
- Нулевая компонента
- Компонента направления, равная \(0\), означает, что линия не меняется по этой оси: соответствующая координата остаётся постоянной. Геометрически линия параллельна плоскости двух других осей (или одной оси, если две компоненты равны нулю). В симметричной форме это отношение не определено и заменяется ограничением-константой, например \(x=x_1\).
