Công Cụ Này Làm Gì
Công cụ này giúp bạn tìm phương trình của một đường thẳng trong không gian ba chiều đi qua hai điểm cho trước, \(A=(x_1,y_1,z_1)\) và \(B=(x_2,y_2,z_2)\). Trong không gian 3D, ta không thể viết đường thẳng dưới dạng công thức \(y=mx+b\) duy nhất, vì vậy ta biểu diễn nó bằng một vectơ chỉ phương kết hợp với dạng tham số và dạng chính tắc. Công cụ cũng trả về khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm.
Công Thức
Vectơ chỉ phương hướng từ \(A\) đến \(B\):
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$Lấy \(A\) làm điểm gốc, đường thẳng được mô tả dưới dạng tham số với tham số \(t\):
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các thành phần của vectơ chỉ phương. Dạng chính tắc (khi không có thành phần nào bằng 0) là \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\).
Cách Sử Dụng
Nhập ba tọa độ của điểm A và ba tọa độ của điểm B, sau đó đọc kết quả là phương trình tham số và vectơ chỉ phương. Tham số \(t\) nhận mọi giá trị thực: \(t=0\) cho điểm A và \(t=1\) cho điểm B.
Ví Dụ Minh Họa
Xét \(A=(1,2,3)\) và \(B=(4,6,8)\). Vectơ chỉ phương là
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$do đó đường thẳng là \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\). Khoảng cách giữa hai điểm là
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
Tính Toán Từng Bước
Cho hai điểm phân biệt \(A=(x_1,y_1,z_1)\) và \(B=(x_2,y_2,z_2)\), đường thẳng đi qua chúng được xây dựng từ một vectơ chỉ phương và một điểm neo. Làm theo năm bước sau.
- Tính các thành phần của vectơ chỉ phương. Trừ tọa độ của \(A\) từ \(B\):
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
vì vậy vectơ chỉ phương là \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). Vectơ này chỉ từ \(A\) về phía \(B\). - Chọn một điểm neo. Bất kỳ điểm nào trên đường thẳng cũng được; lựa chọn đơn giản nhất là \(A=(x_1,y_1,z_1)\), cho \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\).
- Viết các phương trình tham số. Cộng \(t\) lần vectơ chỉ phương vào điểm neo:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
Tại \(t=0\) bạn ở \(A\); tại \(t=1\) bạn ở \(B\). - Lập phương trình đối xứng. Giải mỗi phương trình tham số cho \(t\) và đặt chúng bằng nhau:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
Xử lý thành phần bằng không: nếu một mẫu số bằng \(0\) (ví dụ \(a=0\)) bạn không thể chia cho nó. Thay vào đó bỏ tỉ số đó và phát biểu ràng buộc trực tiếp là \(x = x_1\), sau đó viết dạng đối xứng chỉ sử dụng các thành phần khác không. - Tính khoảng cách giữa các điểm. Khoảng cách \(|AB|\) bằng độ lớn của vectơ chỉ phương:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
Thêm Các Ví Dụ Đã Giải
Ví dụ 1 — Thành phần chỉ phương bằng không
Cho \(A=(2,1,5)\) và \(B=(2,4,5)\).
- Vectơ chỉ phương: \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), vì vậy \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\).
- Dạng tham số: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
- Dạng đối xứng: vì \(a=0\) và \(c=0\), các tỉ số \(x\) và \(z\) không xác định và bị loại bỏ. Đường thẳng được mô tả bằng các ràng buộc
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ tự do}).$$
Đây là một đường thẳng song song với trục \(y\). - Khoảng cách: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.
Ví dụ 2 — Tọa độ âm
Cho \(A=(-3,2,-1)\) và \(B=(1,-4,5)\).
- Vectơ chỉ phương: \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), vì vậy \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\).
- Dạng tham số: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
- Dạng đối xứng:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}.$$ - Khoảng cách: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.
Ví dụ 3 — Một đường thẳng có số nguyên sạch
Cho \(A=(1,0,2)\) và \(B=(4,3,2)\).
- Vectơ chỉ phương: \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), vì vậy \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\).
- Dạng tham số: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
- Dạng đối xứng (tỉ số \(z\) bị loại vì \(c=0\)):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2.$$ - Khoảng cách: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
Định Nghĩa & Thuật Ngữ
- Vectơ chỉ phương
- Vectơ \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) thu được từ các hiệu tọa độ \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\). Nó cho biết hướng của đường thẳng; bất kỳ bội vô hướng khác không nào của nó đều mô tả đường thẳng giống nhau.
- Phương trình tham số
- Biểu diễn \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), tức là \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). Mỗi giá trị của \(t\) cho một điểm trên đường thẳng.
- Dạng đối xứng
- Phương trình \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), thu được bằng cách giải mỗi phương trình tham số cho \(t\) và đánh dấu. Nó không chứa tham số rõ ràng.
- Tham số \(t\)
- Vô hướng tự do trượt điểm dọc theo đường thẳng. \(t=0\) cho điểm neo \(A\); \(t=1\) cho \(B\); \(t\) âm mở rộng đường thẳng theo hướng ngược lại.
- Điểm neo (điểm cơ sở)
- Bất kỳ điểm đã biết nào trên đường thẳng được sử dụng làm vị trí bắt đầu \((x_0,y_0,z_0)\). Chọn \(A=(x_1,y_1,z_1)\) là thông lệ, nhưng \(B\) hoặc bất kỳ điểm nào khác trên đường thẳng cũng có giá trị bằng nhau.
- Độ lớn / khoảng cách
- Độ dài \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), bằng độ lớn của vectơ chỉ phương khi nó được xây dựng từ hai điểm đã cho. Nó đo khoảng cách đường thẳng giữa \(A\) và \(B\).
- Thành phần bằng không
- Một thành phần chỉ phương bằng \(0\) có nghĩa là đường thẳng không thay đổi dọc theo trục đó: tọa độ tương ứng không đổi. Về mặt hình học, đường thẳng song song với mặt phẳng của hai trục khác (hoặc với một trục nếu hai thành phần bằng không). Trong dạng đối xứng, tỉ số đó không xác định và được thay thế bằng ràng buộc hằng số, ví dụ \(x=x_1\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Nếu hai điểm trùng nhau thì sao? Vectơ chỉ phương trở thành \(\langle 0,0,0\rangle\) và không tồn tại đường thẳng duy nhất — hãy nhập hai điểm phân biệt.
Một thành phần của vectơ chỉ phương có thể bằng 0 không? Có. Thành phần bằng 0 nghĩa là đường thẳng song song với một trong các mặt phẳng tọa độ; dạng tham số vẫn dùng được, nhưng dạng chính tắc sẽ lược bỏ thành phần đó.
Phương trình có duy nhất không? Không. Bất kỳ bội số vô hướng nào của vectơ chỉ phương và bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng đều cho một phương trình tương đương hợp lệ.
