この計算ツールでできること
このツールは、与えられた2点 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) と \(B=(x_2,y_2,z_2)\) を通る、3次元空間内の直線の方程式を求めます。空間内の直線は、平面のように \(y=mx+b\) という1本の式では表せません。そこで 方向ベクトル を使い、媒介変数表示（パラメータ表示）と対称式の形で表現します。さらに、2点間の直線距離も同時に計算します。
計算式
方向ベクトルは、\(A\) から \(B\) へ向かう向きを表します。
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$\(A\) を基準点（通過点）とすると、パラメータ \(t\) を用いて直線は次のように媒介変数表示されます。
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$ここで \(a\)、\(b\)、\(c\) は方向ベクトルの各成分です。すべての成分が0でないときは、対称式の形 \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\) でも表せます。
使い方
点Aの3つの座標と点Bの3つの座標を入力すると、媒介変数表示の式と方向ベクトルが表示されます。パラメータ \(t\) はすべての実数をとり、\(t=0\) のとき点A、\(t=1\) のとき点Bを表します。
計算例
\(A=(1,2,3)\)、\(B=(4,6,8)\) としましょう。方向ベクトルは次のようになります。
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$したがって直線は \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\) と表せます。2点間の距離は次の通りです。
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
ステップバイステップ計算
2つの異なる点 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) と \(B=(x_2,y_2,z_2)\) が与えられたとき、これらを通る直線は方向ベクトルと基準点から構成されます。以下の5つのステップに従ってください。
- 方向ベクトルの成分を計算します。 \(A\) の座標を \(B\) から差し引きます：
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
したがって方向ベクトルは \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) です。このベクトルは \(A\) から \(B\) に向かって指しています。 - 基準点を選びます。 直線上の任意の点が機能します。最も簡単な選択は \(A=(x_1,y_1,z_1)\) であり、\((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\) が得られます。
- 媒介変数方程式を書きます。 基準点に方向ベクトルの \(t\) 倍を加えます：
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
\(t=0\) では点 \(A\) にいて、\(t=1\) では点 \(B\) にいます。 - 対称形式を作成します。 各媒介変数方程式を \(t\) について解き、それらを等号で結びます：
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
ゼロ成分の扱い： 分母が \(0\) である場合（例えば \(a=0\)）、その分母で割ることはできません。その比を削除して、\(x = x_1\) などの制約を直接に記述し、ゼロでない成分だけを使用して対称形式を書きます。 - 2点間の距離を計算します。 距離 \(|AB|\) は方向ベクトルの大きさと等しいです：
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
その他の解法例
例1 — ゼロ方向成分
\(A=(2,1,5)\) と \(B=(2,4,5)\) とします。
- 方向ベクトル：\(a=2-2=0\)、\(b=4-1=3\)、\(c=5-5=0\)、したがって \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\)。
- 媒介変数形式：\(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\)。
- 対称形式：\(a=0\) および \(c=0\) であるため、\(x\) および \(z\) の比は未定義になり削除されます。直線は次の制約によって記述されます
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{は自由})。$$
これは \(y\) 軸に平行な直線です。 - 距離：\(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3。
例2 — 負の座標
\(A=(-3,2,-1)\) と \(B=(1,-4,5)\) とします。
- 方向ベクトル：\(a=1-(-3)=4\)、\(b=-4-2=-6\)、\(c=5-(-1)=6\)、したがって \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\)。
- 媒介変数形式：\(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\)。
- 対称形式：
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}。$$ - 距離：\(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38。
例3 — きれいな整数直線
\(A=(1,0,2)\) と \(B=(4,3,2)\) とします。
- 方向ベクトル：\(a=3\)、\(b=3\)、\(c=0\)、したがって \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\)。
- 媒介変数形式：\(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\)。
- 対称形式（\(c=0\) であるため \(z\) の比は削除されます）：
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2。$$ - 距離：\(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\)。
定義と用語集
- 方向ベクトル
- 座標差 \(a=x_2-x_1\)、\(b=y_2-y_1\)、\(c=z_2-z_1\) から得られるベクトル \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\)。これは直線の向きを与え、その任意のゼロでないスカラー倍数が同じ直線を記述します。
- 媒介変数方程式
- 表現 \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\)、すなわち \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\)。\(t\) の各値は直線上の1つの点を与えます。
- 対称形式
- 方程式 \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\)。各媒介変数方程式を \(t\) について解き、それらを等号で結ぶことで得られます。明示的なパラメータが含まれていません。
- パラメータ \(t\)
- 点を直線に沿ってスライドさせる自由なスカラー。\(t=0\) は基準点 \(A\) を与え、\(t=1\) は \(B\) を与え、負の \(t\) は反対方向に直線を拡張します。
- 基準点（始点）
- 直線上の既知の点であり、開始位置 \((x_0,y_0,z_0)\) として使用されます。\(A=(x_1,y_1,z_1)\) を選択することが慣例ですが、\(B\) または直線上の他の任意の点も同じくらい有効です。
- 大きさ / 距離
- 長さ \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)。これは2つの与えられた点から構成される方向ベクトルの大きさと等しく、\(A\) と \(B\) 間の直線距離を測ります。
- ゼロ成分
- 方向成分がゼロである場合、直線はその軸に沿って変化しません：対応する座標は定数のままです。幾何学的には、直線は他の2つの軸の平面に平行です（または2つの成分がゼロの場合は1つの軸に平行です）。対称形式では、その比は未定義であり、定数制約、例えば \(x=x_1\) によって置き換えられます。
よくある質問
2点が同じ場合はどうなりますか？ 方向ベクトルが \(\langle 0,0,0\rangle\) となり、直線を一意に決められません。異なる2点を入力してください。
方向ベクトルの成分が0になってもよいですか？ はい。成分が0のとき、その直線はいずれかの座標平面に平行になります。媒介変数表示はそのまま使えますが、対称式ではその項を省略します。
方程式は1通りに決まりますか？ いいえ。方向ベクトルを定数倍したものや、直線上の任意の点を使っても、同じ直線を表す有効な式になります。
