두 점으로 3차원 직선의 방정식 구하기 계산기

방향 성분 a (Δx)	3
방향 성분 b (Δy)	4
방향 성분 c (Δz)	5
두 점 사이의 거리	7.0711

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 주어진 두 점 $A=(x_1,y_1,z_1)$와 $B=(x_2,y_2,z_2)$를 지나는 3차원 공간 속 직선의 방정식을 구합니다. 3차원에서는 직선을 $y=mx+b$ 같은 하나의 식으로 나타낼 수 없기 때문에, 방향 벡터를 이용한 매개변수 형식과 대칭 형식으로 표현합니다. 또한 두 점 사이의 직선 거리도 함께 계산해 줍니다.

공식

방향 벡터는 점 $A$에서 점 $B$를 향합니다.

$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$

점 $A$를 기준점으로 삼으면, 직선은 매개변수 $t$를 사용해 다음과 같이 표현됩니다.

$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$

여기서 $a$, $b$, $c$는 방향 성분입니다. 어떤 성분도 0이 아닐 때 대칭 형식은 $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$로 나타냅니다.

3D 공간의 두 점을 직선으로 연결하고 방향 벡터 화살표를 표시한 그림 — 두 점 P1과 P2를 지나는 직선과 방향 벡터 v = P2 - P1.

사용 방법

점 A의 세 좌표와 점 B의 세 좌표를 입력하면, 매개변수 방정식과 방향 벡터를 바로 확인할 수 있습니다. 매개변수 $t$는 모든 실수 값을 가질 수 있으며, $t=0$이면 점 A, $t=1$이면 점 B가 됩니다.

풀이 예제

$A=(1,2,3)$와 $B=(4,6,8)$를 예로 들어 보겠습니다. 방향 벡터는 다음과 같습니다.

$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$

따라서 직선은 $x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t$가 됩니다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같이 구합니다.

$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$

두 3D 점 사이에 직각 상자로 표시된 방향 벡터 성분 — 방향 벡터의 성분 a, b, c는 두 점 사이의 좌표 차이입니다.

단계별 계산

두 개의 서로 다른 점 $A=(x_1,y_1,z_1)$과 $B=(x_2,y_2,z_2)$가 주어졌을 때, 이 두 점을 지나는 직선은 방향 벡터와 기준점으로부터 구성됩니다. 다음 다섯 단계를 따르세요.

방향 벡터 성분을 계산합니다. $A$의 좌표를 $B$의 좌표에서 빼세요:
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
그러면 방향 벡터는 $\vec{d}=\langle a,b,c\rangle$입니다. 이 벡터는 $A$에서 $B$ 방향을 가리킵니다.
기준점을 선택합니다. 직선 위의 모든 점이 작동하며, 가장 간단한 선택은 $A=(x_1,y_1,z_1)$으로, $(x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)$입니다.
매개변수 방정식을 작성합니다. 기준점에 방향 벡터의 $t$배를 더하세요:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
$t=0$일 때 점 $A$에 있고, $t=1$일 때 점 $B$에 있습니다.
대칭 방정식을 세웁니다. 각 매개변수 방정식을 $t$에 대해 풀고 같다고 놓으세요:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
0 성분 처리: 분모가 $0$이면 (예를 들어 $a=0$) 그것으로 나눌 수 없습니다. 대신 그 비를 버리고 제약 조건을 직접 $x = x_1$로 명시한 다음, 0이 아닌 성분만 사용하여 대칭 형태를 작성하세요.
두 점 사이의 거리를 계산합니다. 거리 $|AB|$는 방향 벡터의 크기와 같습니다:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

더 많은 풀이 예제

예제 1 — 0인 방향 성분

$A=(2,1,5)$이고 $B=(2,4,5)$라고 하겠습니다.

방향 벡터: $a=2-2=0$, $b=4-1=3$, $c=5-5=0$, 그러므로 $\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle$입니다.
매개변수 형태: $x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5$.
대칭 형태: $a=0$이고 $c=0$이므로, $x$와 $z$ 비는 정의되지 않으므로 버려집니다. 직선은 다음 제약 조건으로 설명됩니다
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{는 자유})$$
이것은 $y$축에 평행한 직선입니다.
거리: $|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = $ 3.

예제 2 — 음수 좌표

$A=(-3,2,-1)$이고 $B=(1,-4,5)$라고 하겠습니다.

방향 벡터: $a=1-(-3)=4$, $b=-4-2=-6$, $c=5-(-1)=6$, 그러므로 $\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle$입니다.
매개변수 형태: $x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t$.
대칭 형태:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}$$
거리: $|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx $ 9.38.

예제 3 — 깔끔한 정수 직선

$A=(1,0,2)$이고 $B=(4,3,2)$라고 하겠습니다.

방향 벡터: $a=3$, $b=3$, $c=0$, 그러므로 $\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle$입니다.
매개변수 형태: $x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2$.
대칭 형태 ($c=0$이므로 $z$ 비가 버려집니다):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2$$
거리: $|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$.

정의 & 용어집

방향 벡터: 좌표 차이 $a=x_2-x_1$, $b=y_2-y_1$, $c=z_2-z_1$로부터 얻은 벡터 $\vec{d}=\langle a,b,c\rangle$. 이것은 직선의 방향을 제공하며, 0이 아닌 스칼라 배수는 같은 직선을 설명합니다.
매개변수 방정식: 표현 $\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle$, 즉 $x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct$. 각 $t$ 값은 직선 위의 한 점을 생성합니다.
대칭 형태: 방정식 $\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}$는 각 매개변수 방정식을 $t$에 대해 풀고 같다고 놓음으로써 얻습니다. 명시적인 매개변수가 없습니다.
매개변수 $t$: 직선을 따라 점을 움직이는 자유 스칼라입니다. $t=0$은 기준점 $A$를 제공하고, $t=1$은 $B$를 제공하며, 음수 $t$는 반대 방향으로 직선을 확장합니다.
기준점 (기저점): 시작 위치 $(x_0,y_0,z_0)$로 사용되는 직선 위의 알려진 모든 점입니다. $A=(x_1,y_1,z_1)$을 선택하는 것이 관례이지만, $B$ 또는 직선 위의 다른 모든 점이 동등하게 유효합니다.
크기 / 거리: 길이 $|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$는 두 주어진 점으로부터 구성되었을 때 방향 벡터의 크기와 같습니다. $A$와 $B$ 사이의 직선 거리를 측정합니다.
0 성분: 방향 성분이 $0$이면 직선이 그 축을 따라 변하지 않는다는 의미입니다: 해당 좌표는 상수로 유지됩니다. 기하학적으로, 직선은 다른 두 축의 평면에 (또는 두 성분이 0이면 한 축에) 평행합니다. 대칭 형태에서 그 비는 정의되지 않으며, 예를 들어 $x=x_1$과 같은 상수 제약 조건으로 대체됩니다.