두 점을 지나는 3D 직선 방정식 계산기

계산 입력

점 A — x₁

점 A — y₁

점 A — z₁

점 B — x₂

점 B — y₂

점 B — z₂

공식

Show calculation steps (1)

1. Distance Between Points

   

   Length of the direction vector = distance from A to B.

결과

직선의 매개변수 방정식

x = 1 + (3)t
y = 2 + (4)t
z = 3 + (5)t

Direction vector ⟨3, 4, 5⟩

방향 성분 a (Δx)	3
방향 성분 b (Δy)	4
방향 성분 c (Δz)	5
두 점 사이의 거리	7.0711

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 주어진 두 점 \(A=(x_1,y_1,z_1)\)와 \(B=(x_2,y_2,z_2)\)를 지나는 3차원 공간 속 직선의 방정식을 구합니다. 3차원에서는 직선을 \(y=mx+b\) 같은 하나의 식으로 나타낼 수 없기 때문에, 방향 벡터를 이용한 매개변수 형식과 대칭 형식으로 표현합니다. 또한 두 점 사이의 직선 거리도 함께 계산해 줍니다.

공식

방향 벡터는 점 \(A\)에서 점 \(B\)를 향합니다.

$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$

점 \(A\)를 기준점으로 삼으면, 직선은 매개변수 \(t\)를 사용해 다음과 같이 표현됩니다.

$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$

여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 방향 성분입니다. 어떤 성분도 0이 아닐 때 대칭 형식은 \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\)로 나타냅니다.

두 점 P1과 P2를 지나는 직선과 방향 벡터 v = P2 - P1.

사용 방법

점 A의 세 좌표와 점 B의 세 좌표를 입력하면, 매개변수 방정식과 방향 벡터를 바로 확인할 수 있습니다. 매개변수 \(t\)는 모든 실수 값을 가질 수 있으며, \(t=0\)이면 점 A, \(t=1\)이면 점 B가 됩니다.

풀이 예제

\(A=(1,2,3)\)와 \(B=(4,6,8)\)를 예로 들어 보겠습니다. 방향 벡터는 다음과 같습니다.

$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$

따라서 직선은 \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\)가 됩니다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같이 구합니다.

$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$

방향 벡터의 성분 a, b, c는 두 점 사이의 좌표 차이입니다.

단계별 계산

두 개의 서로 다른 점 \(A=(x_1,y_1,z_1)\)과 \(B=(x_2,y_2,z_2)\)가 주어졌을 때, 이 두 점을 지나는 직선은 방향 벡터와 기준점으로부터 구성됩니다. 다음 다섯 단계를 따르세요.

1. 방향 벡터 성분을 계산합니다. \(A\)의 좌표를 \(B\)의 좌표에서 빼세요:
   $$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
   그러면 방향 벡터는 \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\)입니다. 이 벡터는 \(A\)에서 \(B\) 방향을 가리킵니다.
2. 기준점을 선택합니다. 직선 위의 모든 점이 작동하며, 가장 간단한 선택은 \(A=(x_1,y_1,z_1)\)으로, \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\)입니다.
3. 매개변수 방정식을 작성합니다. 기준점에 방향 벡터의 \(t\)배를 더하세요:
   $$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
   \(t=0\)일 때 점 \(A\)에 있고, \(t=1\)일 때 점 \(B\)에 있습니다.
4. 대칭 방정식을 세웁니다. 각 매개변수 방정식을 \(t\)에 대해 풀고 같다고 놓으세요:
   $$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
   0 성분 처리: 분모가 \(0\)이면 (예를 들어 \(a=0\)) 그것으로 나눌 수 없습니다. 대신 그 비를 버리고 제약 조건을 직접 \(x = x_1\)로 명시한 다음, 0이 아닌 성분만 사용하여 대칭 형태를 작성하세요.
5. 두 점 사이의 거리를 계산합니다. 거리 \(|AB|\)는 방향 벡터의 크기와 같습니다:
   $$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

더 많은 풀이 예제

예제 1 — 0인 방향 성분

\(A=(2,1,5)\)이고 \(B=(2,4,5)\)라고 하겠습니다.

1. 방향 벡터: \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), 그러므로 \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\)입니다.
2. 매개변수 형태: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
3. 대칭 형태: \(a=0\)이고 \(c=0\)이므로, \(x\)와 \(z\) 비는 정의되지 않으므로 버려집니다. 직선은 다음 제약 조건으로 설명됩니다
   $$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{는 자유})$$
   이것은 \(y\)축에 평행한 직선입니다.
4. 거리: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.

예제 2 — 음수 좌표

\(A=(-3,2,-1)\)이고 \(B=(1,-4,5)\)라고 하겠습니다.

1. 방향 벡터: \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), 그러므로 \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\)입니다.
2. 매개변수 형태: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
3. 대칭 형태:
   $$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}$$
4. 거리: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.

예제 3 — 깔끔한 정수 직선

\(A=(1,0,2)\)이고 \(B=(4,3,2)\)라고 하겠습니다.

1. 방향 벡터: \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), 그러므로 \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\)입니다.
2. 매개변수 형태: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
3. 대칭 형태 (\(c=0\)이므로 \(z\) 비가 버려집니다):
   $$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2$$
4. 거리: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).

정의 & 용어집

방향 벡터

좌표 차이 \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\)로부터 얻은 벡터 \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). 이것은 직선의 방향을 제공하며, 0이 아닌 스칼라 배수는 같은 직선을 설명합니다.

매개변수 방정식

표현 \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), 즉 \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). 각 \(t\) 값은 직선 위의 한 점을 생성합니다.

대칭 형태

방정식 \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\)는 각 매개변수 방정식을 \(t\)에 대해 풀고 같다고 놓음으로써 얻습니다. 명시적인 매개변수가 없습니다.

매개변수 \(t\)

직선을 따라 점을 움직이는 자유 스칼라입니다. \(t=0\)은 기준점 \(A\)를 제공하고, \(t=1\)은 \(B\)를 제공하며, 음수 \(t\)는 반대 방향으로 직선을 확장합니다.

기준점 (기저점)

시작 위치 \((x_0,y_0,z_0)\)로 사용되는 직선 위의 알려진 모든 점입니다. \(A=(x_1,y_1,z_1)\)을 선택하는 것이 관례이지만, \(B\) 또는 직선 위의 다른 모든 점이 동등하게 유효합니다.

크기 / 거리

길이 \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)는 두 주어진 점으로부터 구성되었을 때 방향 벡터의 크기와 같습니다. \(A\)와 \(B\) 사이의 직선 거리를 측정합니다.

0 성분

방향 성분이 \(0\)이면 직선이 그 축을 따라 변하지 않는다는 의미입니다: 해당 좌표는 상수로 유지됩니다. 기하학적으로, 직선은 다른 두 축의 평면에 (또는 두 성분이 0이면 한 축에) 평행합니다. 대칭 형태에서 그 비는 정의되지 않으며, 예를 들어 \(x=x_1\)과 같은 상수 제약 조건으로 대체됩니다.

자주 묻는 질문

두 점이 완전히 같으면 어떻게 되나요? 방향 벡터가 \(\langle 0,0,0\rangle\)이 되어 유일한 직선이 존재하지 않습니다. 서로 다른 두 점을 입력하세요.

방향 성분이 0이 될 수도 있나요? 네, 가능합니다. 성분이 0이면 직선이 좌표평면 중 하나와 평행하다는 뜻입니다. 매개변수 형식은 그대로 사용할 수 있지만, 대칭 형식에서는 해당 항을 생략합니다.

방정식은 유일한가요? 아니요. 방향 벡터에 임의의 스칼라를 곱한 벡터와 직선 위의 임의의 점을 사용하면, 동일한 직선을 나타내는 또 다른 유효한 방정식이 됩니다.