兩點求三維空間直線方程式計算器

輸入計算

A 點 — x₁

A 點 — y₁

A 點 — z₁

B 點 — x₂

B 點 — y₂

B 點 — z₂

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Distance Between Points

   

   Length of the direction vector = distance from A to B.

結果

直線的參數方程式

x = 1 + (3)t
y = 2 + (4)t
z = 3 + (5)t

Direction vector ⟨3, 4, 5⟩

方向分量 a（Δx）	3
方向分量 b（Δy）	4
方向分量 c（Δz）	5
兩點間距離	7.0711

這個計算器的功能

這個工具會求出通過兩個已知點 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) 與 \(B=(x_2,y_2,z_2)\) 的三維空間直線方程式。三維空間中的直線無法用單一的 \(y=mx+b\) 公式表示，因此我們會以方向向量搭配參數式與對稱式來描述它。計算器同時也會回傳兩點之間的直線距離。

公式說明

方向向量由 \(A\) 指向 \(B\)：

$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$

以 \(A\) 作為定點，這條直線可用參數 \(t\) 寫成參數式：

$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$

其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 為方向分量。當三者皆不為零時，對稱式為 \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\)。

過兩點 P1 和 P2 的直線，方向向量為 v = P2 - P1。

使用方法

輸入 A 點的三個座標與 B 點的三個座標，即可讀出參數方程式與方向向量。參數 \(t\) 可取任意實數：\(t=0\) 對應 A 點，\(t=1\) 對應 B 點。

範例演算

設 \(A=(1,2,3)\) 與 \(B=(4,6,8)\)。方向向量為

$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$

因此直線為 \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\)。兩點之間的距離為

$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$

方向向量的分量 a、b、c 是兩點之間的座標差。

逐步計算

給定兩個相異點 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) 和 \(B=(x_2,y_2,z_2)\)，通過它們的直線由一個方向向量和一個錨點構成。按照以下五個步驟進行。

1. 計算方向向量的分量。 從 \(B\) 的坐標中減去 \(A\) 的坐標：
   $$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
   所以方向向量是 \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\)。此向量指向從 \(A\) 到 \(B\) 的方向。
2. 選擇一個錨點。 直線上的任何點都可以；最簡單的選擇是 \(A=(x_1,y_1,z_1)\)，得到 \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\)。
3. 寫出參數方程。 將方向向量乘以 \(t\) 後加到錨點上：
   $$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
   當 \(t=0\) 時你位於 \(A\)；當 \(t=1\) 時你位於 \(B\)。
4. 形成對稱方程。 將每個參數方程對 \(t\) 求解並令其相等：
   $$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
   零分量處理： 如果某個分母為 \(0\)（比如 \(a=0\)），則不能除以它。相反，要去掉該比值並直接以約束形式給出，如 \(x = x_1\)，然後僅用非零分量寫出對稱形式。
5. 計算兩點之間的距離。 距離 \(|AB|\) 等於方向向量的模：
   $$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

更多已解決的例子

例題 1——零方向分量

令 \(A=(2,1,5)\) 和 \(B=(2,4,5)\)。

1. 方向向量：\(a=2-2=0\)，\(b=4-1=3\)，\(c=5-5=0\)，所以 \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\)。
2. 參數形式：\(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\)。
3. 對稱形式：因為 \(a=0\) 和 \(c=0\)，\(x\) 和 \(z\) 的比值未定義並被忽略。直線由約束條件描述
   $$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ 自由})。$$
   這是一條平行於 \(y\) 軸的直線。
4. 距離：\(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3。

例題 2——負坐標

令 \(A=(-3,2,-1)\) 和 \(B=(1,-4,5)\)。

1. 方向向量：\(a=1-(-3)=4\)，\(b=-4-2=-6\)，\(c=5-(-1)=6\)，所以 \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\)。
2. 參數形式：\(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\)。
3. 對稱形式：
   $$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}。$$
4. 距離：\(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38。

例題 3——乾淨的整數直線

令 \(A=(1,0,2)\) 和 \(B=(4,3,2)\)。

1. 方向向量：\(a=3\)，\(b=3\)，\(c=0\)，所以 \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\)。
2. 參數形式：\(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\)。
3. 對稱形式（\(z\) 的比值因 \(c=0\) 而被忽略）：
   $$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2。$$
4. 距離：\(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\)。

定義和詞彙表

方向向量

從坐標差 \(a=x_2-x_1\)、\(b=y_2-y_1\)、\(c=z_2-z_1\) 得到的向量 \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\)。它給出直線的方向；任何非零標量倍數都描述同一條直線。

參數方程

表示 \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\)，即 \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\)。\(t\) 的每個值都對應直線上的一個點。

對稱形式

方程 \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\)，通過對每個參數方程對 \(t\) 求解並令其相等得到。它不包含顯式參數。

參數 \(t\)

自由標量，使點沿著直線滑動。\(t=0\) 給出錨點 \(A\)；\(t=1\) 給出 \(B\)；負的 \(t\) 將直線向相反方向延伸。

錨點（基點）

直線上任何已知的點，用作起始位置 \((x_0,y_0,z_0)\)。選擇 \(A=(x_1,y_1,z_1)\) 是慣例，但 \(B\) 或直線上任何其他點同樣有效。

模 / 距離

長度 \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)，等於從兩個給定點構建的方向向量的模。它測量 \(A\) 和 \(B\) 之間的直線距離。

零分量

一個等於 \(0\) 的方向分量意味著直線沿著該軸不變化：相應的坐標保持常數。在幾何上，直線平行於其他兩個軸所在的平面（或如果兩個分量為零則平行於一個軸）。在對稱形式中，該比值未定義並被替換為常數約束，例如 \(x=x_1\)。

常見問題

如果兩點完全相同會怎樣？方向向量會變成 \(\langle 0,0,0\rangle\)，此時無法確定唯一的直線——請輸入兩個不同的點。

方向分量可以是零嗎？可以。某個分量為零代表這條直線平行於某個座標平面；參數式仍然成立，但對稱式會省略該項。

直線方程式是唯一的嗎？不是。方向向量的任何純量倍數，以及直線上的任何一點，都能寫出等價的有效方程式。