ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تُوجِد هذه الأداة معادلة المستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يمر بنقطتين معطاتين، هما \(A=(x_1,y_1,z_1)\) و\(B=(x_2,y_2,z_2)\). لا يمكن كتابة المستقيم في الفراغ بصيغة واحدة مثل \(y=mx+b\)، لذا نعبّر عنه باستخدام متجه اتجاه إلى جانب الصيغتين الوسيطية والتماثلية. كما تُرجِع الحاسبة المسافة المستقيمة بين النقطتين.
الصيغة الرياضية
يتجه متجه الاتجاه من النقطة \(A\) نحو النقطة \(B\):
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$وباتخاذ \(A\) نقطة ارتكاز، يوصَف المستقيم وسيطيًا بدلالة الوسيط \(t\):
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$حيث \(a\) و\(b\) و\(c\) هي مركبات الاتجاه. أما الصيغة التماثلية (عندما لا تكون أيٌّ منها صفرًا) فهي \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\).
كيفية الاستخدام
أدخِل الإحداثيات الثلاثة للنقطة A والإحداثيات الثلاثة للنقطة B، ثم اقرأ المعادلات الوسيطية ومتجه الاتجاه. يأخذ الوسيط \(t\) جميع القيم الحقيقية: فعند \(t=0\) نحصل على النقطة A، وعند \(t=1\) نحصل على النقطة B.
مثال محلول
لنأخذ \(A=(1,2,3)\) و\(B=(4,6,8)\). يكون متجه الاتجاه:
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$وبذلك يكون المستقيم \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\). أما المسافة بين النقطتين فهي:
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
الحساب خطوة بخطوة
بالنظر إلى نقطتين مختلفتين \(A=(x_1,y_1,z_1)\) و \(B=(x_2,y_2,z_2)\)، يتم بناء الخط الذي يمر بينهما من متجه الاتجاه و نقطة ارتساء. اتبع هذه الخمس خطوات.
- احسب مكونات متجه الاتجاه. اطرح إحداثيات \(A\) من \(B\):
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
وبذلك يكون متجه الاتجاه هو \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). يشير هذا المتجه من \(A\) نحو \(B\). - اختر نقطة ارتساء. أي نقطة على الخط تعمل؛ الخيار الأبسط هو \(A=(x_1,y_1,z_1)\)، مما يعطي \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\).
- اكتب المعادلات البارامترية. أضف \(t\) مضروباً في متجه الاتجاه إلى نقطة الارتساء:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
عند \(t=0\) أنت عند \(A\)؛ عند \(t=1\) أنت عند \(B\). - شكّل المعادلات المتماثلة. حل كل معادلة بارامترية بالنسبة للـ \(t\) وساوِها:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
معالجة المكون الصفري: إذا كان المقام صفراً (مثلاً \(a=0\)) فلا يمكنك القسمة عليه. بدلاً من ذلك احذف تلك النسبة وأعلن عن القيد مباشرة على أنه \(x = x_1\)، ثم اكتب الصيغة المتماثلة باستخدام المكونات غير الصفرية فقط. - احسب المسافة بين النقاط. المسافة \(|AB|\) تساوي مقدار متجه الاتجاه:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
أمثلة عملية إضافية
المثال 1 — مكون اتجاه صفري
لنفترض \(A=(2,1,5)\) و \(B=(2,4,5)\).
- متجه الاتجاه: \(a=2-2=0\)، \(b=4-1=3\)، \(c=5-5=0\)، وبذلك \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\).
- الصيغة البارامترية: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
- الصيغة المتماثلة: لأن \(a=0\) و \(c=0\)، فإن نسب \(x\) و \(z\) غير معرّفة وتُحذف. يوصف الخط بالقيود
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ حرّ}).$$
هذا خط موازٍ لمحور \(y\). - المسافة: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.
المثال 2 — إحداثيات سالبة
لنفترض \(A=(-3,2,-1)\) و \(B=(1,-4,5)\).
- متجه الاتجاه: \(a=1-(-3)=4\)، \(b=-4-2=-6\)، \(c=5-(-1)=6\)، وبذلك \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\).
- الصيغة البارامترية: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
- الصيغة المتماثلة:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}.$$ - المسافة: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.
المثال 3 — خط صحيح نظيف
لنفترض \(A=(1,0,2)\) و \(B=(4,3,2)\).
- متجه الاتجاه: \(a=3\)، \(b=3\)، \(c=0\)، وبذلك \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\).
- الصيغة البارامترية: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
- الصيغة المتماثلة (تُحذف نسبة \(z\) لأن \(c=0\)):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2.$$ - المسافة: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
التعريفات والمسرد
- متجه الاتجاه
- المتجه \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) الذي يُحصل عليه من فروق الإحداثيات \(a=x_2-x_1\)، \(b=y_2-y_1\)، \(c=z_2-z_1\). يعطي اتجاه الخط؛ أي مضاعف عددي غير صفري منه يصف نفس الخط.
- معادلة بارامترية
- التمثيل \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\)، أي \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). كل قيمة من \(t\) تعطي نقطة واحدة على الخط.
- الصيغة المتماثلة
- المعادلة \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\)، المحصول من حل كل معادلة بارامترية بالنسبة للـ \(t\) والمساواة. لا تحتوي على معامل صريح.
- المعامل \(t\)
- العددي الحر الذي ينزلق بالنقطة على طول الخط. \(t=0\) يعطي نقطة الارتساء \(A\)؛ \(t=1\) يعطي \(B\)؛ القيم السالبة للـ \(t\) تمد الخط في الاتجاه المعاكس.
- نقطة الارتساء (النقطة الأساسية)
- أي نقطة معروفة على الخط تُستخدم كموضع بداية \((x_0,y_0,z_0)\). اختيار \(A=(x_1,y_1,z_1)\) تقليدي، لكن \(B\) أو أي نقطة أخرى على الخط متساوية الصحة.
- المقدار / المسافة
- الطول \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)، يساوي مقدار متجه الاتجاه عندما يُبنى من النقطتين المعطاتين. يقيس المسافة بخط مستقيم بين \(A\) و \(B\).
- المكون الصفري
- مكون اتجاه يساوي صفراً يعني أن الخط لا يتغير على طول هذا المحور: الإحداثي المقابل يبقى ثابتاً. هندسياً الخط موازٍ لمستوى المحورين الآخرين (أو لمحور واحد إذا كان مكونان صفريين). في الصيغة المتماثلة تلك النسبة غير معرّفة وتُستبدل بقيد ثابت، مثلاً \(x=x_1\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت النقطتان متطابقتين؟ يصبح متجه الاتجاه \(\langle 0,0,0\rangle\) ولا يوجد مستقيم وحيد — أدخِل نقطتين مختلفتين.
هل يمكن أن تكون إحدى مركبات الاتجاه صفرًا؟ نعم. تعني المركبة الصفرية أن المستقيم موازٍ لأحد المستويات الإحداثية؛ تبقى الصيغة الوسيطية صالحة، لكن الصيغة التماثلية تُسقِط ذلك الحد.
هل المعادلة وحيدة؟ لا. أي مضاعف عددي لمتجه الاتجاه وأي نقطة واقعة على المستقيم يعطيان معادلة مكافئة صحيحة.
