Qué hace esta calculadora
Esta herramienta encuentra la ecuación de una recta en el espacio tridimensional que pasa por dos puntos dados, \(A=(x_1,y_1,z_1)\) y \(B=(x_2,y_2,z_2)\). Una recta en 3D no se puede escribir con una sola fórmula del tipo \(y=mx+b\), así que la expresamos mediante un vector director junto con sus formas paramétrica y simétrica. La calculadora también devuelve la distancia en línea recta entre ambos puntos.
La fórmula
El vector director apunta desde \(A\) hacia \(B\):
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$Tomando \(A\) como punto de referencia, la recta se describe de forma paramétrica con el parámetro \(t\):
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$donde \(a\), \(b\) y \(c\) son las componentes del vector director. La forma simétrica (cuando ninguna es cero) es \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\).
Cómo usarla
Introduce las tres coordenadas del punto A y las tres coordenadas del punto B; después podrás leer las ecuaciones paramétricas y el vector director. El parámetro \(t\) recorre todos los números reales: con \(t=0\) obtienes el punto A y con \(t=1\) el punto B.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A=(1,2,3)\) y \(B=(4,6,8)\). El vector director es
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$por lo que la recta es \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\). La distancia entre los puntos es
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
Cálculo Paso a Paso
Dados dos puntos distintos \(A=(x_1,y_1,z_1)\) y \(B=(x_2,y_2,z_2)\), la línea que pasa por ellos se construye a partir de un vector director y un punto de anclaje. Sigue estos cinco pasos.
- Calcula las componentes del vector director. Resta las coordenadas de \(A\) de \(B\):
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
de modo que el vector director es \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). Este vector apunta desde \(A\) hacia \(B\). - Elige un punto de anclaje. Cualquier punto en la línea funciona; la opción más simple es \(A=(x_1,y_1,z_1)\), dando \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\).
- Escribe las ecuaciones paramétricas. Suma \(t\) veces el vector director al anclaje:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
En \(t=0\) estás en \(A\); en \(t=1\) estás en \(B\). - Forma las ecuaciones simétricas. Despeja cada ecuación paramétrica para \(t\) e iguálalas:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
Manejo de componentes cero: si un denominador es \(0\) (digamos \(a=0\)) no puedes dividir entre él. En su lugar, omite esa razón y establece la restricción directamente como \(x = x_1\), luego escribe la forma simétrica usando solo los componentes distintos de cero. - Calcula la distancia entre los puntos. La distancia \(|AB|\) es igual a la magnitud del vector director:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
Más Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1 — Una componente del vector director igual a cero
Sea \(A=(2,1,5)\) y \(B=(2,4,5)\).
- Vector director: \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), de modo que \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\).
- Forma paramétrica: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
- Forma simétrica: como \(a=0\) y \(c=0\), las razones de \(x\) y \(z\) no están definidas y se omiten. La línea se describe mediante las restricciones
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ libre}).$$
Esta es una línea paralela al eje \(y\). - Distancia: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.
Ejemplo 2 — Coordenadas negativas
Sea \(A=(-3,2,-1)\) y \(B=(1,-4,5)\).
- Vector director: \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), de modo que \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\).
- Forma paramétrica: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
- Forma simétrica:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}.$$ - Distancia: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.
Ejemplo 3 — Una línea con números enteros limpios
Sea \(A=(1,0,2)\) y \(B=(4,3,2)\).
- Vector director: \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), de modo que \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\).
- Forma paramétrica: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
- Forma simétrica (la razón de \(z\) se omite porque \(c=0\)):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2.$$ - Distancia: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
Definiciones y Glosario
- Vector director
- El vector \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) obtenido de las diferencias de coordenadas \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\). Da la orientación de la línea; cualquier múltiplo escalar distinto de cero de él describe la misma línea.
- Ecuación paramétrica
- La representación \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), es decir, \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). Cada valor de \(t\) produce un punto en la línea.
- Forma simétrica
- La ecuación \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), obtenida despejando \(t\) en cada ecuación paramétrica e igualando. No contiene un parámetro explícito.
- Parámetro \(t\)
- El escalar libre que desliza el punto a lo largo de la línea. \(t=0\) da el punto de anclaje \(A\); \(t=1\) da \(B\); valores negativos de \(t\) extienden la línea en la dirección opuesta.
- Punto de anclaje (punto base)
- Cualquier punto conocido en la línea usado como posición inicial \((x_0,y_0,z_0)\). Elegir \(A=(x_1,y_1,z_1)\) es convencional, pero \(B\) u cualquier otro punto en la línea es igualmente válido.
- Magnitud / distancia
- La longitud \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), igual a la magnitud del vector director cuando se construye a partir de los dos puntos dados. Mide la distancia en línea recta entre \(A\) y \(B\).
- Componente cero
- Una componente del vector director igual a \(0\) significa que la línea no cambia a lo largo de ese eje: la coordenada correspondiente permanece constante. Geométricamente, la línea es paralela al plano de los otros dos ejes (o a un eje si dos componentes son cero). En la forma simétrica, esa razón no está definida y se reemplaza por la restricción constante, por ejemplo, \(x=x_1\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si los dos puntos son idénticos? El vector director se convierte en \(\langle 0,0,0\rangle\) y no existe una recta única; introduce dos puntos distintos.
¿Puede valer cero alguna componente del vector director? Sí. Una componente nula indica que la recta es paralela a uno de los planos coordenados; la forma paramétrica sigue funcionando, pero la forma simétrica omite ese término.
¿La ecuación es única? No. Cualquier múltiplo escalar del vector director y cualquier punto de la recta dan una ecuación equivalente válida.
