यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रिविमीय (3D) अंतरिक्ष में उस सीधी रेखा का समीकरण निकालता है जो दिए गए दो बिंदुओं \(A=(x_1,y_1,z_1)\) और \(B=(x_2,y_2,z_2)\) से होकर गुजरती है। 3D में किसी रेखा को केवल एक \(y=mx+b\) सूत्र से नहीं लिखा जा सकता, इसलिए हम इसे एक दिशा सदिश (direction vector) के साथ पैरामीट्रिक और सममित रूपों में व्यक्त करते हैं। यह कैलकुलेटर दोनों बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी भी बताता है।
सूत्र
दिशा सदिश \(A\) से \(B\) की ओर इंगित करता है:
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$\(A\) को आधार बिंदु मानते हुए, रेखा को पैरामीटर \(t\) के साथ पैरामीट्रिक रूप में इस तरह दर्शाया जाता है:
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$जहाँ \(a\), \(b\), \(c\) दिशा के घटक हैं। सममित रूप (जब कोई भी घटक शून्य न हो) इस प्रकार होता है: \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\)।
इसका उपयोग कैसे करें
बिंदु A के तीनों निर्देशांक और बिंदु B के तीनों निर्देशांक दर्ज करें, फिर पैरामीट्रिक समीकरण और दिशा सदिश पढ़ लें। पैरामीटर \(t\) सभी वास्तविक संख्याओं पर मान लेता है: \(t=0\) पर बिंदु A और \(t=1\) पर बिंदु B प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A=(1,2,3)\) और \(B=(4,6,8)\)। दिशा सदिश होगा
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$तो रेखा होगी \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\)। दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी होगी
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$$
चरण-दर-चरण गणना
दो अलग-अलग बिंदु \(A=(x_1,y_1,z_1)\) और \(B=(x_2,y_2,z_2)\) दिए गए हैं, इनसे गुजरने वाली रेखा एक दिशा सदिश और एक एंकर बिंदु से बनाई जाती है। ये पाँच चरण अनुसरण करें।
- दिशा सदिश के घटकों की गणना करें। \(B\) के निर्देशांकों से \(A\) के निर्देशांकों को घटाएँ:
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
तो दिशा सदिश \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) है। यह सदिश \(A\) से \(B\) की ओर इंगित करता है। - एक एंकर बिंदु चुनें। रेखा पर कोई भी बिंदु काम करता है; सबसे सरल विकल्प \(A=(x_1,y_1,z_1)\) है, जो \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\) देता है।
- पैरामीट्रिक समीकरण लिखें। एंकर में दिशा सदिश का \(t\) गुना जोड़ें:
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
\(t=0\) पर आप \(A\) पर हैं; \(t=1\) पर आप \(B\) पर हैं। - सममित समीकरण बनाएँ। प्रत्येक पैरामीट्रिक समीकरण को \(t\) के लिए हल करें और उन्हें बराबर सेट करें:
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
शून्य-घटक प्रबंधन: यदि कोई हर \(0\) है (मान लें \(a=0\)) तो आप इससे विभाजित नहीं कर सकते। इसके बजाय वह अनुपात छोड़ें और बाधा को सीधे \(x = x_1\) के रूप में बताएँ, फिर केवल गैर-शून्य घटकों का उपयोग करके सममित रूप लिखें। - बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें। दूरी \(|AB|\) दिशा सदिश के परिमाण के बराबर है:
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
अधिक हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — एक शून्य दिशा घटक
मान लें \(A=(2,1,5)\) और \(B=(2,4,5)\)।
- दिशा सदिश: \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), तो \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\)।
- पैरामीट्रिक रूप: \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\)।
- सममित रूप: क्योंकि \(a=0\) और \(c=0\), \(x\) और \(z\) अनुपात अपरिभाषित हैं और छोड़ दिए जाते हैं। रेखा को बाधाओं द्वारा वर्णित किया जाता है
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ मुक्त})।$$
यह \(y\)-अक्ष के समांतर एक रेखा है। - दूरी: \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3।
उदाहरण 2 — नकारात्मक निर्देशांक
मान लें \(A=(-3,2,-1)\) और \(B=(1,-4,5)\)।
- दिशा सदिश: \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), तो \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\)।
- पैरामीट्रिक रूप: \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\)।
- सममित रूप:
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}।$$ - दूरी: \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38।
उदाहरण 3 — एक स्वच्छ पूर्णांक रेखा
मान लें \(A=(1,0,2)\) और \(B=(4,3,2)\)।
- दिशा सदिश: \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), तो \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\)।
- पैरामीट्रिक रूप: \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\)।
- सममित रूप (\(z\) अनुपात छोड़ा गया है क्योंकि \(c=0\)):
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2।$$ - दूरी: \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\)।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- दिशा सदिश
- सदिश \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) निर्देशांक अंतर \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\) से प्राप्त। यह रेखा का अभिविन्यास देता है; इसका कोई भी गैर-शून्य अदिश गुणज समान रेखा का वर्णन करता है।
- पैरामीट्रिक समीकरण
- प्रतिनिधित्व \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), अर्थात् \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\)। \(t\) का प्रत्येक मान रेखा पर एक बिंदु देता है।
- सममित रूप
- समीकरण \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), प्रत्येक पैरामीट्रिक समीकरण को \(t\) के लिए हल करके और बराबर करके प्राप्त। इसमें कोई स्पष्ट पैरामीटर नहीं है।
- पैरामीटर \(t\)
- मुक्त अदिश जो बिंदु को रेखा के साथ स्लाइड करता है। \(t=0\) एंकर बिंदु \(A\) देता है; \(t=1\) बिंदु \(B\) देता है; नकारात्मक \(t\) रेखा को विपरीत दिशा में विस्तारित करता है।
- एंकर बिंदु (आधार बिंदु)
- रेखा पर कोई ज्ञात बिंदु जिसे प्रारंभिक स्थिति \((x_0,y_0,z_0)\) के रूप में उपयोग किया जाता है। \(A=(x_1,y_1,z_1)\) चुनना परंपरागत है, लेकिन \(B\) या रेखा पर कोई अन्य बिंदु समान रूप से मान्य है।
- परिमाण / दूरी
- लंबाई \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), दिशा सदिश के परिमाण के बराबर जब इसे दो दिए गए बिंदुओं से बनाया जाता है। यह \(A\) और \(B\) के बीच सीधी-रेखा दूरी को मापता है।
- शून्य घटक
- एक दिशा घटक शून्य के बराबर का मतलब है कि रेखा उस अक्ष के साथ नहीं बदलती: संबंधित निर्देशांक स्थिर रहता है। ज्यामितीय रूप से रेखा दूसरे दो अक्षों के समतल के समांतर है (या यदि दो घटक शून्य हैं तो एक अक्ष के लिए)। सममित रूप में वह अनुपात अपरिभाषित है और इसे स्थिर बाधा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, उदा. \(x=x_1\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
अगर दोनों बिंदु एक ही हों तो क्या होगा? तब दिशा सदिश \(\langle 0,0,0\rangle\) बन जाता है और कोई अद्वितीय रेखा मौजूद नहीं रहती — कृपया दो अलग-अलग बिंदु दर्ज करें।
क्या कोई दिशा घटक शून्य हो सकता है? हाँ। शून्य घटक का मतलब है कि रेखा किसी एक निर्देशांक तल के समानांतर है; पैरामीट्रिक रूप तब भी काम करता है, लेकिन सममित रूप में वह पद छोड़ दिया जाता है।
क्या यह समीकरण अद्वितीय होता है? नहीं। दिशा सदिश का कोई भी अदिश गुणज और रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु एक मान्य समतुल्य समीकरण देता है।
