यह कैलकुलेटर क्या करता है
दो बिंदुओं से रेखा का समीकरण कैलकुलेटर वह सीधी रेखा ज्ञात करता है जो निर्देशांक तल (coordinate plane) में किन्हीं दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। बस पहले बिंदु (x₁, y₁) और दूसरे बिंदु (x₂, y₂) के निर्देशांक डालिए, और यह टूल आपको ढाल (slope), y-अंतःखंड (y-intercept), पूरा slope-intercept समीकरण \(y = mx + b\), तथा दोनों बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी बता देता है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
चारों निर्देशांक मानों को बॉक्स में टाइप करें और सबमिट करें। कैलकुलेटर सबसे पहले ढाल निकालता है, फिर point-slope संबंध का उपयोग करके y-अंतःखंड ज्ञात करता है और अंतिम समीकरण बनाता है। यदि दोनों x-मान बराबर हों, तो रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) होती है और इसे x = स्थिरांक के रूप में लिखा जाता है, क्योंकि ऐसी रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है।
सूत्र की व्याख्या
ढाल m का अर्थ है y में परिवर्तन को x में परिवर्तन से भाग देना: $$m = \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ यह बताता है कि रेखा कितनी तीव्र (steep) है — x की प्रत्येक एक इकाई वृद्धि पर y कितना बढ़ता है। जब m मिल जाए, तो point-slope रूप \(y - \text{y}_1 = m(x - \text{x}_1)\) रेखा को दर्शाता है। इसका विस्तार करने पर slope-intercept रूप \(y = mx + b\) मिलता है, जहाँ अंतःखंड \(b = \text{y}_1 - m\cdot\text{x}_1\) वह y-मान है जहाँ रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को काटती है।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु (1, 2) और (3, 6) के लिए: ढाल $$m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$ अंतःखंड \(b = 2 - 2\cdot1 = 0\), इसलिए समीकरण होगा \(y = 2x\)। दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $$d = \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.472$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि दोनों बिंदुओं का x समान हो तो क्या होगा? रेखा ऊर्ध्वाधर होगी, ढाल अपरिभाषित रहेगी, और समीकरण \(x = \text{x}_1\) के रूप में लिखा जाएगा।
यदि दोनों बिंदुओं का y समान हो तो? रेखा क्षैतिज (horizontal) होगी जिसकी ढाल 0 होगी, यानी समीकरण \(y = \text{y}_1\) होगा।
क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव निर्देशांक डाल सकता हूँ? हाँ — कोई भी वास्तविक संख्या स्वीकार्य है, जिसमें ऋणात्मक और दशमलव संख्याएँ भी शामिल हैं।
