रेखा का ढाल (Slope) क्या होता है?
किसी रेखा का ढाल, जिसे आमतौर पर m से दर्शाया जाता है, यह बताता है कि रेखा कितनी तीव्र (खड़ी) है — यानी रेखा के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच ऊर्ध्वाधर बदलाव (rise) और क्षैतिज बदलाव (run) का अनुपात। धनात्मक (positive) ढाल वाली रेखा बाएँ से दाएँ ऊपर चढ़ती है, ऋणात्मक (negative) ढाल वाली नीचे उतरती है, शून्य ढाल वाली रेखा क्षैतिज होती है, और ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा का ढाल अपरिभाषित (undefined) होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
रेखा पर स्थित दो बिंदुओं के निर्देशांक दर्ज करें: पहला बिंदु \((x_1, y_1)\) और दूसरा बिंदु \((x_2, y_2)\)। कैलकुलेटर तुरंत आपको ढाल, rise \((\Delta y)\), run \((\Delta x)\), रेखा का y-अंतःखंड (y-intercept) और क्षैतिज अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण बता देगा।
सूत्र की व्याख्या
ढाल की गणना इस प्रकार की जाती है:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$अंश \((y_2 - y_1)\) rise है — यानी रेखा कितना ऊपर या नीचे जाती है। हर \((x_2 - x_1)\) run है — यानी रेखा कितना अगल-बगल खिसकती है। यदि run शून्य हो (दोनों x-मान बराबर हों), तो रेखा ऊर्ध्वाधर होती है और ढाल अपरिभाषित होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए बिंदु \((1, 2)\) और \((4, 8)\) हैं। यहाँ rise \(= 8 - 2 = 6\) और run \(= 4 - 1 = 3\) होगा। इसलिए ढाल है:
$$m = \frac{6}{3} = 2$$y-अंतःखंड \(b = 2 - 2 \times 1 = 0\) होगा, जिससे रेखा का समीकरण \(y = 2x\) बनता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
ढाल 0 होने का क्या मतलब है? रेखा पूरी तरह क्षैतिज है — x के बदलने पर भी y में कोई बदलाव नहीं होता।
मेरा ढाल "अपरिभाषित" क्यों दिखा रहा है? क्योंकि दोनों बिंदुओं का x-मान एक समान है, इसलिए run शून्य हो जाता है। शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है और ऐसी रेखा ऊर्ध्वाधर होती है।
झुकाव का कोण क्या होता है? यह \(\arctan(m)\) को डिग्री में बदलने पर मिलता है — यानी वह कोण जो रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ बनाती है।
