यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी सरल रेखा का समीकरण उस समय बना देता है जब आपके पास सिर्फ़ उसके दो अक्ष-इंटरसेप्ट हों: x-इंटरसेप्ट a (जहाँ रेखा क्षैतिज अक्ष को काटती है, यानी बिंदु (a, 0)) और y-इंटरसेप्ट b (जहाँ वह ऊर्ध्व अक्ष को काटती है, यानी बिंदु (0, b))। इन्हीं दो संख्याओं से यह ढाल-इंटरसेप्ट समीकरण \(y = mx + b\) और रेखा का झुकाव कोण निकाल देता है। यह पूरी तरह निर्देशांक ज्यामिति (coordinate geometry) पर आधारित है, इसलिए यह हर जगह एक जैसा काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
x-अक्ष का इंटरसेप्ट a और y-अक्ष का इंटरसेप्ट b दर्ज करें। इनमें से कोई भी मान शून्य नहीं हो सकता: यदि \(a = 0\) हो तो रेखा ऊर्ध्व (vertical) होगी और ढाल अपरिभाषित रहेगी, और यदि \(b = 0\) हो तो रेखा मूल बिंदु (origin) से होकर गुज़रती है, जिससे इंटरसेप्ट रूप ही टूट जाता है। फिर चुनें कि कोण डिग्री में चाहिए या रेडियन में, और समीकरण, ढाल, इंटरसेप्ट तथा कोण पढ़ लें।
सूत्र की पूरी समझ
रेखा का इंटरसेप्ट रूप है \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)। इसे b से गुणा करके y को अलग करने पर मिलता है $$y = \left(-\frac{b}{a}\right)x + b$$ यानी ढाल \(m = -\frac{b}{a}\) होती है और स्थिरांक पद सीधे b ही रहता है। रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ जो झुकाव कोण बनाती है, वह ढाल का आर्कटैन्जेंट होता है: $$\theta = \arctan\left(-\frac{b}{a}\right)$$ चूँकि atan का मान -90 से +90 डिग्री के बीच लौटता है, इसलिए ऋणात्मक ढाल वाली रेखा का कोण ऋणात्मक आएगा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = -4\) और \(b = 3\)। तब ढाल $$m = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{-4} = 0.75$$ होगी। इसलिए समीकरण होगा \(y = 0.75x + 3\)। कोण $$\theta = \arctan(0.75) = 0.643501 \text{ रेडियन}$$ है, जो \(0.643501 \times \frac{180}{\pi} = 36.8699\) डिग्री के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
a या b शून्य क्यों नहीं हो सकते? यदि \(a = 0\) हो तो रेखा ऊर्ध्व (x = स्थिरांक) होती है और उसकी कोई परिभाषित ढाल नहीं होती; यदि \(b = 0\) हो तो रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है और सममित इंटरसेप्ट रूप \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) लागू नहीं हो सकता।
मेरा कोण ऋणात्मक क्यों आ रहा है? कोण ढाल के atan के बराबर होता है। जब ढाल ऋणात्मक होती है तो रेखा बाएँ से दाएँ नीचे की ओर ढलती है, इसलिए उसका झुकाव 0 और -90 डिग्री के बीच एक ऋणात्मक कोण के रूप में दिखाया जाता है — यही मानक परिपाटी है।
क्या ढाल हमेशा -b/a ही होती है? हाँ। इंटरसेप्ट (a, 0) और (0, b) के बीच ऊँचाई-में-वृद्धि बटा क्षैतिज-दूरी (rise over run) \(= \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}\) होती है।
