Что делает этот калькулятор
Инструмент строит уравнение прямой, если известны только две точки её пересечения с осями координат: отрезок на оси X — значение a (точка пересечения с горизонтальной осью, координаты (a, 0)) и отрезок на оси Y — значение b (точка пересечения с вертикальной осью, координаты (0, b)). По этим двум числам калькулятор выводит уравнение прямой в виде \(y = mx + b\) и вычисляет угол её наклона. Это чистая аналитическая геометрия, поэтому формулы работают одинаково в любой стране и любой системе образования.
Как пользоваться
Введите отрезок на оси X — значение a и отрезок на оси Y — значение b. Ни одно из этих чисел не может быть равно нулю: если \(a = 0\), прямая вертикальна и её угловой коэффициент не определён, а если \(b = 0\), прямая проходит через начало координат и уравнение в отрезках теряет смысл. Затем выберите, в чём выводить угол — в градусах или радианах, — и сразу получите уравнение, угловой коэффициент, свободный член и угол наклона.
Разбор формулы
Уравнение прямой в отрезках записывается так: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$ Умножив обе части на \(b\) и выразив \(y\), получаем $$y = \left(-\frac{b}{a}\right)x + b$$ Значит, угловой коэффициент равен \(m = -\frac{b}{a}\), а свободный член — это просто \(b\). Угол наклона прямой к положительному направлению оси X равен арктангенсу углового коэффициента: $$\theta = \arctan\left(-\frac{b}{a}\right)$$ Поскольку функция \(\arctan\) возвращает значения от \(-90\) до \(+90\) градусов, прямая с отрицательным угловым коэффициентом даёт отрицательный угол.
Пример расчёта
Пусть \(a = -4\) и \(b = 3\). Угловой коэффициент равен $$m = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{-4} = 0{,}75$$ Тогда уравнение прямой: $$y = 0{,}75x + 3$$ Угол наклона составляет $$\theta = \arctan(0{,}75) = 0{,}643501 \text{ рад} = 0{,}643501 \times \frac{180}{\pi} = 36{,}8699 \text{ градуса}$$
Частые вопросы
Почему a или b не могут быть равны нулю? Если \(a = 0\), прямая вертикальна (\(x = \text{const}\)) и не имеет определённого углового коэффициента; если \(b = 0\), прямая проходит через начало координат, и симметричное уравнение в отрезках \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) для неё не выполняется.
Почему угол получился отрицательным? Угол равен \(\arctan\) (углового коэффициента). Когда коэффициент отрицателен, прямая идёт сверху вниз слева направо, поэтому её наклон выражается отрицательным углом в диапазоне от \(0\) до \(-90\) градусов — это стандартное соглашение.
Всегда ли угловой коэффициент равен -b/a? Да. Для отрезков с точками (a, 0) и (0, b) отношение приращения по Y к приращению по X между этими точками равно \(\frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}\).
