Что считает этот калькулятор
Этот инструмент находит площадь и периметр треугольника, если известны декартовы координаты его трёх вершин: A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3). На вход подаются обычные действительные числа на координатной плоскости, поэтому они могут быть отрицательными, нулевыми, целыми или дробными. Результаты сохраняют те же единицы измерения, что и ваши координаты: площадь — в квадратных единицах, периметр — в линейных. Если координаты заданы безразмерными числами, ответы тоже будут безразмерными.
Как пользоваться
Введите значения x и y для каждой из трёх точек A, B и C, затем посмотрите площадь и периметр. В таблице периметр дополнительно разбит на три стороны — AB, BC и CA, — чтобы вы могли проверить длину каждого ребра по отдельности.
Разбор формул
Площадь вычисляется по формуле площади Гаусса (её также называют «формулой шнурков»). Знаковая величина \((x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_1)\) равна удвоенной площади со знаком; разделив её на 2 и взяв модуль, получаем положительную площадь независимо от того, перечислены ли вершины по часовой стрелке или против неё. Периметр — это просто сумма длин трёх сторон, каждая из которых находится по теореме Пифагора как расстояние между двумя точками.
$$A = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$$$P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}$$
Разбор примера
Для A(-2, 3), B(-3, -1), C(3, -2) выражение в формуле даёт \(2 + 6 + 9 + 9 + 3 - 4 = 25\), поэтому \(S = |25/2| =\) 12,5. Стороны равны \(AB = \sqrt{17} \approx 4{,}1231\), \(BC = \sqrt{37} \approx 6{,}0828\), \(CA = \sqrt{50} \approx 7{,}0711\), что даёт периметр \(L \approx\) 17,27694.
Частые вопросы
Что значит, если площадь равна нулю? Нулевая площадь означает, что три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), а значит, настоящего треугольника они не образуют.
Влияет ли порядок точек? Нет. Модуль в формуле Гаусса делает площадь независимой от того, перечисляете ли вы вершины по часовой стрелке или против неё.
Можно ли использовать отрицательные координаты? Да. Подходят любые действительные числа, включая отрицательные и дробные.
