À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine l'aire et le périmètre d'un triangle dès lors que vous connaissez les coordonnées cartésiennes de ses trois sommets : \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) et \(C(x_3, y_3)\). Les valeurs saisies sont de simples nombres réels du plan : elles peuvent donc être négatives, nulles, entières ou décimales. Les résultats reprennent les mêmes unités que vos coordonnées : l'aire en unités au carré, le périmètre en unités de longueur. Si vos coordonnées sont de purs nombres, les résultats sont sans dimension.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur x et la valeur y de chacun des trois points A, B et C, puis lisez l'aire et le périmètre. Le tableau décompose également le périmètre en ses trois côtés AB, BC et CA, ce qui vous permet de vérifier la longueur de chaque arête individuellement.
Les formules expliquées
L'aire repose sur la formule du lacet (ou formule de Gauss). La quantité signée \((x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_1)\) vaut le double de l'aire signée ; en divisant par 2 puis en prenant la valeur absolue, on obtient une aire positive, que les sommets soient énumérés dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse.
$$ A = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$Le périmètre n'est rien d'autre que la somme des longueurs des trois côtés, chacune calculée à l'aide de la distance pythagoricienne entre deux points.
$$ \begin{gathered} P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \\ \overline{BC} &= \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} \\ \overline{CA} &= \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \end{aligned} \right. \end{gathered} $$
Exemple résolu
Pour \(A(-2, 3)\), \(B(-3, -1)\), \(C(3, -2)\) : le terme du produit en croix vaut \(2 + 6 + 9 + 9 + 3 - 4 = 25\), donc \(S = \left|\frac{25}{2}\right| =\) 12,5. Les côtés mesurent \(AB = \sqrt{17} \approx 4{,}1231\), \(BC = \sqrt{37} \approx 6{,}0828\), \(CA = \sqrt{50} \approx 7{,}0711\), soit un périmètre \(L \approx\) 17,27694.
FAQ
Que se passe-t-il si l'aire est nulle ? Une aire nulle signifie que les trois points sont alignés (ils se trouvent sur une même droite) : ils ne forment donc pas un véritable triangle.
L'ordre des points a-t-il une importance ? Non. La valeur absolue présente dans la formule du lacet rend l'aire indépendante du sens dans lequel vous énumérez les sommets (horaire ou anti-horaire).
Puis-je utiliser des coordonnées négatives ? Oui. Tous les nombres réels sont admis, y compris les valeurs négatives et décimales.
