Ce que fait ce calculateur
Ce calculateur reconstitue les trois côtés d'un triangle rectangle lorsque les seules données connues sont son périmètre P (la longueur totale du contour) et son aire A. Il renvoie les deux côtés de l'angle droit a et b (les côtés qui forment l'angle droit) et l'hypoténuse c, ainsi que les deux angles aigus. La solution est exacte et en forme fermée — sans tâtonnement ni itération — et le calculateur vérifie d'abord qu'un triangle rectangle avec votre périmètre et votre aire peut réellement exister. Si ce n'est pas le cas, il vous le signale et affiche la plus grande aire qu'un triangle rectangle de ce périmètre pourrait atteindre.
Comment l'utiliser
- Saisissez le périmètre P du triangle rectangle (un nombre positif).
- Saisissez l'aire A du triangle rectangle (un nombre positif).
- Appuyez sur Calculer. Vous obtenez le petit côté a, le grand côté b, l'hypoténuse c et les deux angles aigus, ainsi qu'une ligne de vérification confirmant que les côtés reproduisent votre périmètre et votre aire.
Utilisez des unités cohérentes : si le périmètre est en centimètres, l'aire doit être en centimètres carrés, et les côtés sont renvoyés en centimètres. Le calculateur lui-même est indépendant des unités.
La formule expliquée
Un triangle rectangle de côtés a, b et d'hypoténuse c satisfait trois conditions à la fois — le périmètre, l'aire et le théorème de Pythagore :
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$En élevant au carré la somme des côtés de l'angle droit et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$Comme a + b = P − c, la substitution et le développement éliminent le terme c² :
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$La somme des côtés en découle immédiatement :
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$Connaissant la somme a + b et le produit ab = 2A, les formules de Viète indiquent que les deux côtés sont les racines d'une équation du second degré :
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$Une solution n'existe que si l'hypoténuse est positive et le discriminant positif ou nul. Ces deux conditions se combinent en une seule borne sur l'aire :
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$l'égalité étant atteinte exactement pour le triangle rectangle isocèle (a = b). Si votre aire dépasse cette borne, aucun triangle rectangle de ce périmètre n'existe et le calculateur en explique la raison au lieu de renvoyer des nombres dénués de sens.
Exemple résolu
Supposons que le périmètre soit P = 30 et l'aire A = 30.
- Somme des côtés : a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- Hypoténuse : c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- Discriminant : D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, donc √D = 7.
- Côtés : t = (17 ± 7) / 2, ce qui donne b = 12 et a = 5.
Vérification : 5 + 12 + 13 = 30 correspond au périmètre, (5 × 12) / 2 = 30 correspond à l'aire, et 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² confirme l'angle droit. C'est le classique triangle rectangle 5–12–13.
Foire aux questions
Pourquoi le calculateur indique-t-il qu'aucun triangle rectangle de ce type n'existe ? Pour un périmètre P fixé, l'aire d'un triangle rectangle ne peut pas dépasser P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P², la valeur atteinte par le triangle rectangle isocèle. Si votre aire dépasse cette borne, aucune longueur de côté ne peut satisfaire à la fois le périmètre, l'aire et le théorème de Pythagore ; le calculateur signale donc que le triangle est impossible et affiche l'aire maximale réalisable.
Peut-il exister deux triangles différents ayant le même périmètre et la même aire ? Non — pour un triangle rectangle, la solution est unique. Les deux racines de l'équation du second degré sont les deux côtés du même triangle ; les échanger ne fait que renommer a et b. Le calculateur indique toujours le petit côté comme a et le grand côté comme b.
Le périmètre et l'aire doivent-ils être exprimés dans des unités compatibles ? Oui. Saisissez le périmètre dans une unité de longueur et l'aire dans le carré de cette même unité — par exemple des mètres et des mètres carrés. Les trois côtés sont alors renvoyés dans cette unité de longueur.
