ماذا تفعل هذه الحاسبة
تستعيد هذه الحاسبة أضلاع المثلث القائم الثلاثة جميعها عندما يكون كل ما تعرفه هو محيطه P (الطول الكلي حول المثلث) ومساحته A. تُعيد الضلعين القائمين a و b (الضلعان اللذان يكوّنان الزاوية القائمة) والوتر c، إلى جانب الزاويتين الحادتين. الحل تام ومغلق الصيغة — دون تخمين أو تكرار — وتتحقق الحاسبة أولاً مما إذا كان يمكن أصلاً وجود مثلث قائم بهذا المحيط وهذه المساحة. وإن تعذّر ذلك، فإنها تُخبرك وتعرض أكبر مساحة يمكن أن يبلغها مثلث قائم بذلك المحيط.
كيفية الاستخدام
- أدخل محيط المثلث القائم P (عدد موجب).
- أدخل مساحة المثلث القائم A (عدد موجب).
- اضغط احسب. تحصل على الضلع القائم الأقصر a، والضلع القائم الأطول b، والوتر c، والزاويتين الحادتين، إضافة إلى صف تحقق يؤكد أن الأضلاع تعيد إنتاج محيطك ومساحتك.
استخدم وحدات متسقة: إذا كان المحيط بالسنتيمتر، فيجب أن تكون المساحة بالسنتيمتر المربع، وتعود الأضلاع بالسنتيمتر. الحاسبة نفسها لا تعتمد على وحدة بعينها.
شرح الصيغة
المثلث القائم ذو الضلعين القائمين a و b والوتر c يحقق ثلاثة شروط في آن واحد — المحيط والمساحة ونظرية فيثاغورس:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$بتربيع مجموع الضلعين القائمين واستخدام نظرية فيثاغورس نحصل على:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$بما أن a + b = P − c، فإن التعويض والفك يُلغيان الحد c²:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$ويتبع ذلك مباشرةً مجموع الضلعين القائمين:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$بمعرفة المجموع a + b والجداء ab = 2A، تنص صيغ فييتا على أن الضلعين القائمين هما جذرا معادلة تربيعية:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$لا يوجد حل إلا عندما يكون الوتر موجباً والمميّز غير سالب. ويجتمع الشرطان في حدّ واحد على المساحة:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$مع تحقق المساواة تماماً في حالة المثلث القائم المتساوي الساقين (a = b). إذا تجاوزت مساحتك هذا الحد، فلا يوجد أي مثلث قائم بذلك المحيط، وتشرح الحاسبة السبب بدلاً من إعادة أرقام بلا معنى.
مثال محلول
لنفترض أن المحيط P = 30 والمساحة A = 30.
- مجموع الضلعين القائمين: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- الوتر: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- المميّز: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49، ومن ثمّ √D = 7.
- الضلعان القائمان: t = (17 ± 7) / 2، مما يعطي b = 12 و a = 5.
التحقق: 5 + 12 + 13 = 30 يطابق المحيط، و(5 × 12) / 2 = 30 يطابق المساحة، و 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² يؤكد الزاوية القائمة. هذا هو المثلث القائم الكلاسيكي 5–12–13.
الأسئلة الشائعة
لماذا تقول الحاسبة إنه لا يوجد مثلث قائم كهذا؟ لمحيط ثابت P، لا يمكن أن تتجاوز مساحة المثلث القائم P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P²، وهي القيمة التي يبلغها المثلث القائم المتساوي الساقين. إذا كانت مساحتك أعلى من هذا الحد، فلا يمكن لأي أطوال أضلاع أن تحقق المحيط والمساحة ونظرية فيثاغورس في آن واحد، لذا تُبلّغ الحاسبة بأن المثلث مستحيل وتعرض أكبر مساحة ممكنة.
هل يمكن أن يوجد مثلثان مختلفان لهما المحيط والمساحة نفساهما؟ لا — بالنسبة للمثلث القائم يكون الحل وحيداً. جذرا المعادلة التربيعية هما الضلعان القائمان للمثلث نفسه، لذا فإن تبديلهما يعيد تسمية a و b فحسب. تُبلّغ الحاسبة دائماً عن الضلع القائم الأقصر بوصفه a والأطول بوصفه b.
هل يجب أن تكون وحدتا المحيط والمساحة متوافقتين؟ نعم. أدخل المحيط بوحدة طول والمساحة بمربّع الوحدة نفسها — مثل الأمتار والأمتار المربعة. عندها تُعاد الأضلاع الثلاثة بوحدة الطول تلك.
