Что делает этот калькулятор
Этот калькулятор восстанавливает все три стороны прямоугольного треугольника, когда известны только его периметр P (полная длина по контуру треугольника) и площадь A. Он возвращает два катета a и b (стороны, образующие прямой угол) и гипотенузу c вместе с двумя острыми углами. Решение точное и в замкнутой форме — без подбора и итераций — и калькулятор сначала проверяет, может ли вообще существовать прямоугольный треугольник с вашими периметром и площадью. Если не может, он сообщает об этом и показывает наибольшую площадь, которую мог бы иметь прямоугольный треугольник с таким периметром.
Как пользоваться
- Введите периметр P прямоугольного треугольника (положительное число).
- Введите площадь A прямоугольного треугольника (положительное число).
- Нажмите Вычислить. Вы получите меньший катет a, больший катет b, гипотенузу c и два острых угла, а также строку проверки, подтверждающую, что стороны воспроизводят ваши периметр и площадь.
Используйте согласованные единицы: если периметр задан в сантиметрах, площадь должна быть в квадратных сантиметрах, а стороны вернутся в сантиметрах. Сам калькулятор не зависит от единиц измерения.
Разбор формулы
Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c одновременно удовлетворяет трём условиям — периметру, площади и теореме Пифагора:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$Возведя сумму катетов в квадрат и применив теорему Пифагора, получаем:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$Поскольку a + b = P − c, подстановка и раскрытие скобок сокращают член c²:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$Сумма катетов находится сразу:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$Зная сумму a + b и произведение ab = 2A, по формулам Виета оба катета являются корнями квадратного уравнения:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$Решение существует только тогда, когда гипотенуза положительна, а дискриминант неотрицателен. Оба условия объединяются в одну границу для площади:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$с равенством ровно для равнобедренного прямоугольного треугольника (a = b). Если ваша площадь превышает эту границу, прямоугольного треугольника с таким периметром не существует, и калькулятор объясняет почему, вместо того чтобы возвращать бессмысленные числа.
Разобранный пример
Пусть периметр равен P = 30, а площадь A = 30.
- Сумма катетов: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- Гипотенуза: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- Дискриминант: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, поэтому √D = 7.
- Катеты: t = (17 ± 7) / 2, что даёт b = 12 и a = 5.
Проверка: 5 + 12 + 13 = 30 совпадает с периметром, (5 × 12) / 2 = 30 совпадает с площадью, а 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² подтверждает прямой угол. Это классический прямоугольный треугольник 5–12–13.
Часто задаваемые вопросы
Почему калькулятор сообщает, что такого прямоугольного треугольника не существует? При фиксированном периметре P площадь прямоугольного треугольника не может превышать P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P² — значение, достигаемое равнобедренным прямоугольным треугольником. Если ваша площадь выше этой границы, никакие длины сторон не могут одновременно удовлетворять периметру, площади и теореме Пифагора, поэтому калькулятор сообщает, что треугольник невозможен, и показывает максимально допустимую площадь.
Могут ли когда-нибудь существовать два разных треугольника с одинаковыми периметром и площадью? Нет — для прямоугольного треугольника решение единственно. Два корня квадратного уравнения — это два катета одного и того же треугольника, поэтому их перестановка лишь меняет местами обозначения a и b. Калькулятор всегда указывает меньший катет как a, а больший как b.
Должны ли периметр и площадь быть в согласованных единицах? Да. Введите периметр в единице длины, а площадь — в квадрате той же единицы — например, метры и квадратные метры. Тогда все три стороны возвращаются в этой единице длины.
