이 계산기가 하는 일
이 계산기는 직각삼각형에 대해 둘레 P(삼각형 둘레의 전체 길이)와 넓이 A만 알고 있을 때 세 변을 모두 복원합니다. 직각을 이루는 두 변 a와 b, 그리고 빗변 c를 두 예각과 함께 알려 줍니다. 해는 정확한 닫힌 형태로 구해지며 — 추측이나 반복 계산이 필요 없습니다 — 계산기는 먼저 입력한 둘레와 넓이를 갖는 직각삼각형이 실제로 존재할 수 있는지 확인합니다. 존재할 수 없다면 그 사실을 알려 주고, 그 둘레를 갖는 직각삼각형이 가질 수 있는 최대 넓이를 보여 줍니다.
사용 방법
- 직각삼각형의 둘레 P를 입력합니다(양수).
- 직각삼각형의 넓이 A를 입력합니다(양수).
- 계산을 누릅니다. 짧은 변 a, 긴 변 b, 빗변 c와 두 예각이 나오고, 그 변들이 입력한 둘레와 넓이를 그대로 재현하는지 확인하는 검산 행도 함께 표시됩니다.
단위는 일관되게 사용하세요. 둘레가 센티미터이면 넓이는 제곱센티미터여야 하며, 변은 센티미터로 반환됩니다. 계산기 자체는 단위에 구애받지 않습니다.
공식 설명
두 변 a, b와 빗변 c를 갖는 직각삼각형은 둘레, 넓이, 피타고라스 정리라는 세 조건을 동시에 만족합니다.
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$두 변의 합을 제곱하고 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같습니다.
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$a + b = P − c이므로 이를 대입해 전개하면 c² 항이 사라집니다.
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$두 변의 합은 곧바로 얻어집니다.
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$합 a + b와 곱 ab = 2A를 알면, 비에트의 공식에 따라 두 변은 다음 이차방정식의 근이 됩니다.
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$해는 빗변이 양수이고 판별식이 음이 아닐 때에만 존재합니다. 이 두 조건은 넓이에 대한 하나의 한계로 합쳐집니다.
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$등호는 직각이등변삼각형(a = b)일 때 정확히 성립합니다. 넓이가 이 한계를 넘으면 그 둘레를 갖는 직각삼각형은 존재하지 않으며, 계산기는 의미 없는 숫자를 반환하는 대신 그 이유를 설명합니다.
예제 풀이
둘레가 P = 30이고 넓이가 A = 30이라고 하겠습니다.
- 두 변의 합: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- 빗변: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- 판별식: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49이므로 √D = 7.
- 두 변: t = (17 ± 7) / 2이므로 b = 12, a = 5.
검산: 5 + 12 + 13 = 30은 둘레와 일치하고, (5 × 12) / 2 = 30은 넓이와 일치하며, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²은 직각임을 확인해 줍니다. 이것이 유명한 5–12–13 직각삼각형입니다.
자주 묻는 질문
계산기가 그런 직각삼각형은 존재하지 않는다고 하는 이유는 무엇인가요? 둘레 P가 정해지면 직각삼각형의 넓이는 P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P²를 넘을 수 없으며, 이 값은 직각이등변삼각형에서 도달합니다. 넓이가 이 한계를 넘으면 어떤 변의 길이도 둘레, 넓이, 피타고라스 정리를 동시에 만족할 수 없으므로, 계산기는 그 삼각형이 불가능하다고 알리고 실현 가능한 최대 넓이를 보여 줍니다.
같은 둘레와 넓이를 갖는 서로 다른 삼각형이 두 개 존재할 수도 있나요? 아니요 — 직각삼각형에서는 해가 유일합니다. 이차방정식의 두 근은 같은 삼각형의 두 변이므로, 서로 바꿔도 a와 b의 이름만 바뀔 뿐입니다. 계산기는 항상 짧은 변을 a, 긴 변을 b로 표시합니다.
둘레와 넓이는 서로 맞는 단위여야 하나요? 네. 둘레는 어떤 길이 단위로, 넓이는 그 같은 단위의 제곱으로 입력하세요 — 예를 들어 미터와 제곱미터입니다. 그러면 세 변은 그 길이 단위로 반환됩니다.
