Bu hesaplayıcı ne işe yarar
Bu hesaplayıcı, bir dik üçgen hakkında bildiğiniz tek şey çevresi P (üçgenin çevresindeki toplam uzunluk) ve alanı A olduğunda üçgenin üç kenarını da bulur. İki dik kenarı a ve b'yi (dik açıyı oluşturan kenarları) ve hipotenüs c'yi, iki dar açıyla birlikte döndürür. Çözüm tam ve kapalı formdadır — tahmin ya da yineleme yoktur — ve hesaplayıcı önce girdiğiniz çevre ve alana sahip bir dik üçgenin gerçekten var olup olamayacağını kontrol eder. Var olamıyorsa bunu size bildirir ve o çevreye sahip bir dik üçgenin sahip olabileceği en büyük alanı gösterir.
Nasıl kullanılır
- Dik üçgenin çevresi P'yi girin (pozitif bir sayı).
- Dik üçgenin alanı A'yı girin (pozitif bir sayı).
- Hesapla'ya basın. Kısa dik kenar a'yı, uzun dik kenar b'yi, hipotenüs c'yi ve iki dar açıyı elde edersiniz; ayrıca kenarların girdiğiniz çevre ve alanı yeniden ürettiğini doğrulayan bir kontrol satırı gösterilir.
Tutarlı birimler kullanın: çevre santimetre cinsindense alan santimetrekare cinsinden olmalı ve kenarlar santimetre cinsinden döner. Hesaplayıcının kendisi birimden bağımsızdır.
Formülün açıklaması
a, b dik kenarlarına ve c hipotenüsüne sahip bir dik üçgen aynı anda üç koşulu sağlar — çevre, alan ve Pisagor teoremi:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$Dik kenarların toplamının karesini alıp Pisagor teoremini kullanmak şunu verir:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$a + b = P − c olduğundan, yerine koyup açtığımızda c² terimi sadeleşir:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$Dik kenarların toplamı hemen ardından gelir:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$a + b toplamını ve ab = 2A çarpımını bilerek, Vieta formülleri iki dik kenarın bir ikinci derece denklemin kökleri olduğunu söyler:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$Çözüm yalnızca hipotenüs pozitif ve diskriminant negatif olmadığında vardır. Her iki koşul da alan üzerinde tek bir sınırda birleşir:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$eşitlik tam olarak ikizkenar dik üçgen (a = b) için geçerlidir. Alanınız bu sınırı aşarsa, o çevreye sahip hiçbir dik üçgen yoktur ve hesaplayıcı anlamsız sayılar döndürmek yerine nedenini açıklar.
Çözümlü örnek
Çevrenin P = 30 ve alanın A = 30 olduğunu varsayalım.
- Dik kenarların toplamı: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- Hipotenüs: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- Diskriminant: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, dolayısıyla √D = 7.
- Dik kenarlar: t = (17 ± 7) / 2, bu da b = 12 ve a = 5 verir.
Kontrol: 5 + 12 + 13 = 30 çevreyle eşleşir, (5 × 12) / 2 = 30 alanla eşleşir ve 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² dik açıyı doğrular. Bu klasik 5–12–13 dik üçgenidir.
Sıkça sorulan sorular
Hesaplayıcı neden böyle bir dik üçgen yok diyor? Sabit bir çevre P için, bir dik üçgenin alanı P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P² değerini aşamaz; bu değere ikizkenar dik üçgen ulaşır. Alanınız bu sınırın üzerindeyse, hiçbir kenar uzunluğu çevreyi, alanı ve Pisagor teoremini aynı anda sağlayamaz; bu yüzden hesaplayıcı üçgeni imkânsız olarak bildirir ve mümkün olan en büyük alanı gösterir.
Aynı çevre ve alana sahip iki farklı üçgen olabilir mi? Hayır — bir dik üçgen için çözüm tektir. İkinci derece denklemin iki kökü aynı üçgenin iki dik kenarıdır, dolayısıyla bunları takas etmek yalnızca a ve b'yi yeniden adlandırır. Hesaplayıcı her zaman kısa dik kenarı a, uzun dik kenarı b olarak bildirir.
Çevre ve alanın birimleri uyumlu olmak zorunda mı? Evet. Çevreyi bir uzunluk biriminde, alanı ise aynı birimin karesinde girin — örneğin metre ve metrekare. Üç kenar o zaman o uzunluk biriminde döndürülür.
