本計算器的功能
當你只知道一個直角三角形的周長 P（三角形一周的總長度）和面積 A 時，本計算器可以還原它全部三條邊。它會給出兩條直角邊 a 和 b（構成直角的兩條邊）以及斜邊 c，並附上兩個銳角。解是精確的閉式解——無需猜測或迭代——計算器會先檢驗具有你所給周長和面積的直角三角形是否真的存在。如果不存在，它會告訴你，並顯示該周長的直角三角形所能達到的最大面積。
使用方法
- 輸入直角三角形的周長 P（一個正數）。
- 輸入直角三角形的面積 A（一個正數）。
- 點擊計算。你將得到較短的直角邊 a、較長的直角邊 b、斜邊 c 以及兩個銳角，另有一列校驗結果，確認這些邊能重現你輸入的周長和面積。
請使用一致的單位：如果周長以公分為單位，面積就必須以平方公分為單位，邊長也會以公分返回。計算器本身與單位無關。
公式詳解
直角邊為 a、b、斜邊為 c 的直角三角形同時滿足三個條件——周長、面積和畢氏定理：
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$對兩條直角邊之和取平方並利用畢氏定理，得到：
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$由於 a + b = P − c，代入並展開後 c² 項相互抵消：
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$兩條直角邊之和隨即得出：
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$已知和 a + b 與積 ab = 2A，由韋達定理可知兩條直角邊是一個二次方程式的根：
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$只有當斜邊為正且判別式非負時才存在解。這兩個條件合併為對面積的一個上界：
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$當且僅當為等腰直角三角形（a = b）時取等號。如果你的面積超過這個上界，就不存在具有該周長的直角三角形，此時計算器會解釋原因，而不是返回沒有意義的數字。
計算範例
假設周長為 P = 30，面積為 A = 30。
- 直角邊之和：a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17。
- 斜邊：c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13。
- 判別式：D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49，因此 √D = 7。
- 直角邊：t = (17 ± 7) / 2，得到 b = 12 和 a = 5。
校驗：5 + 12 + 13 = 30 與周長相符，(5 × 12) / 2 = 30 與面積相符，且 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² 確認了直角。這就是經典的 5–12–13 直角三角形。
常見問題
為什麼計算器說不存在這樣的直角三角形？ 對於固定的周長 P，直角三角形的面積不能超過 P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P²，這個值由等腰直角三角形達到。如果你的面積超過這個上界，就沒有任何邊長能同時滿足周長、面積和畢氏定理，因此計算器會回報該三角形不可能存在，並顯示可行的最大面積。
會不會存在兩個周長和面積都相同的不同三角形？ 不會——對於直角三角形，解是唯一的。二次方程式的兩個根就是同一個三角形的兩條直角邊，交換它們只是把 a 和 b 重新命名而已。計算器始終把較短的直角邊記為 a，較長的記為 b。
周長和面積需要使用相匹配的單位嗎？ 需要。周長用某個長度單位輸入，面積則用同一單位的平方——例如公尺和平方公尺。這樣三條邊就會以該長度單位返回。
