यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह कैलकुलेटर किसी समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात कर देता है, जबकि आपको केवल उसका परिमाप P (त्रिभुज के चारों ओर की कुल लंबाई) और क्षेत्रफल A ही पता हो। यह दोनों भुजाएँ a और b (जो समकोण बनाती हैं) तथा कर्ण c लौटाता है, साथ ही दोनों न्यून कोण भी। हल सटीक और बंद-रूप में होता है — कोई अनुमान या पुनरावृत्ति नहीं — और कैलकुलेटर पहले यह जाँचता है कि आपके दिए परिमाप और क्षेत्रफल वाला समकोण त्रिभुज वास्तव में संभव है या नहीं। यदि संभव नहीं है, तो यह आपको बता देता है और दिखाता है कि उस परिमाप वाला समकोण त्रिभुज अधिकतम कितना क्षेत्रफल रख सकता है।
इसका उपयोग कैसे करें
- समकोण त्रिभुज का परिमाप P दर्ज करें (एक धनात्मक संख्या)।
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A दर्ज करें (एक धनात्मक संख्या)।
- गणना करें पर क्लिक करें। आपको छोटी भुजा a, बड़ी भुजा b, कर्ण c और दोनों न्यून कोण मिलेंगे, साथ ही एक जाँच-पंक्ति जो पुष्टि करती है कि ये भुजाएँ आपके परिमाप और क्षेत्रफल को फिर से देती हैं।
एकसमान इकाइयाँ प्रयोग करें: यदि परिमाप सेंटीमीटर में है, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में होना चाहिए, और भुजाएँ सेंटीमीटर में लौटेंगी। कैलकुलेटर स्वयं किसी इकाई पर निर्भर नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
भुजाओं a, b और कर्ण c वाला समकोण त्रिभुज एक साथ तीन शर्तें पूरी करता है — परिमाप, क्षेत्रफल और पाइथागोरस प्रमेय:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$भुजाओं के योग का वर्ग करके पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर मिलता है:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$चूँकि a + b = P − c है, प्रतिस्थापित करके विस्तार करने पर c² पद कट जाता है:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$भुजाओं का योग तुरंत प्राप्त हो जाता है:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$योग a + b और गुणनफल ab = 2A ज्ञात होने पर, विएता के सूत्रों के अनुसार दोनों भुजाएँ एक द्विघात समीकरण के मूल होती हैं:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$हल तभी मौजूद होता है जब कर्ण धनात्मक हो और विविक्तकर (discriminant) ऋणेतर हो। ये दोनों शर्तें मिलकर क्षेत्रफल पर एक ही सीमा बनाती हैं:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$समता ठीक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (a = b) के लिए होती है। यदि आपका क्षेत्रफल इस सीमा से अधिक है, तो उस परिमाप वाला कोई समकोण त्रिभुज संभव नहीं है, और कैलकुलेटर निरर्थक संख्याएँ लौटाने के बजाय इसका कारण समझाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए परिमाप P = 30 और क्षेत्रफल A = 30 है।
- भुजाओं का योग: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17।
- कर्ण: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13।
- विविक्तकर: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, इसलिए √D = 7।
- भुजाएँ: t = (17 ± 7) / 2, जिससे b = 12 और a = 5।
जाँच: 5 + 12 + 13 = 30 परिमाप से मेल खाता है, (5 × 12) / 2 = 30 क्षेत्रफल से मेल खाता है, और 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² समकोण की पुष्टि करता है। यह प्रसिद्ध 5–12–13 समकोण त्रिभुज है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कैलकुलेटर यह क्यों कहता है कि ऐसा कोई समकोण त्रिभुज संभव नहीं है? किसी नियत परिमाप P के लिए, समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P² से अधिक नहीं हो सकता — यह मान समद्विबाहु समकोण त्रिभुज पर प्राप्त होता है। यदि आपका क्षेत्रफल इस सीमा से ऊपर है, तो कोई भी भुजा-लंबाई एक साथ परिमाप, क्षेत्रफल और पाइथागोरस प्रमेय को पूरा नहीं कर सकती, इसलिए कैलकुलेटर त्रिभुज को असंभव बताता है और अधिकतम संभव क्षेत्रफल दिखाता है।
क्या कभी एक ही परिमाप और क्षेत्रफल वाले दो भिन्न त्रिभुज हो सकते हैं? नहीं — समकोण त्रिभुज के लिए हल अद्वितीय होता है। द्विघात समीकरण के दोनों मूल एक ही त्रिभुज की दोनों भुजाएँ हैं, इसलिए उन्हें आपस में बदलने से केवल a और b के नाम बदलते हैं। कैलकुलेटर हमेशा छोटी भुजा को a और बड़ी भुजा को b बताता है।
क्या परिमाप और क्षेत्रफल का मिलती-जुलती इकाइयों में होना ज़रूरी है? हाँ। परिमाप को किसी लंबाई-इकाई में और क्षेत्रफल को उसी इकाई के वर्ग में दर्ज करें — उदाहरण के लिए मीटर और वर्ग मीटर। तब तीनों भुजाएँ उसी लंबाई-इकाई में लौटती हैं।
