त्रिभुज का शीर्षलंब क्या होता है?
त्रिभुज का शीर्षलंब (altitude) वह लंबवत रेखाखंड है जो किसी शीर्ष (vertex) से उसकी सामने वाली भुजा (या उस भुजा को आगे बढ़ाने वाली रेखा) तक खींचा जाता है। हर त्रिभुज में तीन शीर्षलंब होते हैं — हर भुजा के लिए एक। यह कैलकुलेटर सीधे तीनों भुजाओं की लंबाई से तीनों ऊँचाइयाँ (\(h_a\), \(h_b\), \(h_c\)) निकाल देता है, साथ ही त्रिभुज का क्षेत्रफल भी बता देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों भुजाओं a, b और c की लंबाई किसी एक ही इकाई (unit) में भरें। कैलकुलेटर पहले हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल निकालता है, फिर क्षेत्रफल के दोगुने को हर भुजा से भाग देकर उस भुजा पर गिरने वाला शीर्षलंब निकालता है। ध्यान रखें कि तीनों भुजाएँ एक मान्य त्रिभुज बनाती हों (हर भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी होनी चाहिए)।
सूत्र की समझ
त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है, यानी क्षेत्रफल = ½·a·ha। इससे ऊँचाई निकालने पर \(h_a = 2 \cdot \text{क्षेत्रफल} / a\) मिलता है। चूँकि वही क्षेत्रफल हर भुजा पर लागू होता है, इसलिए \(h_b = 2 \cdot \text{क्षेत्रफल} / b\) और \(h_c = 2 \cdot \text{क्षेत्रफल} / c\)। क्षेत्रफल स्वयं हीरोन सूत्र से आता है —
$$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$जहाँ s अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) है।
हल किया हुआ उदाहरण
3-4-5 वाले समकोण त्रिभुज के लिए: \(s = (3+4+5)/2 = 6\), \(\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6\)। फिर \(h_a = 2 \cdot 6/3 = 4\), \(h_b = 2 \cdot 6/4 = 3\), और \(h_c = 2 \cdot 6/5 = 2.4\)। ध्यान दें कि भुजाओं (legs) पर गिरने वाले शीर्षलंब दूसरी भुजा के बराबर आते हैं — समकोण त्रिभुज में ऐसा ही होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या लंबी भुजाओं के शीर्षलंब छोटे होते हैं? हाँ — क्योंकि क्षेत्रफल निश्चित रहता है, इसलिए शीर्षलंब अपनी भुजा के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होता है। यानी सबसे लंबी भुजा का शीर्षलंब सबसे छोटा होगा।
अगर मेरी भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनातीं तो? अगर वर्गमूल के अंदर का मान शून्य या ऋणात्मक हो, तो क्षेत्रफल 0 दिखाया जाता है — यह संकेत है कि त्रिभुज अपकर्षित (degenerate) या असंभव है।
यह किन इकाइयों में काम करता है? किसी भी इकाई में — शीर्षलंब उसी रैखिक इकाई में आते हैं जिसमें भुजाएँ भरी गई हैं, और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में।
