Qu'est-ce que la hauteur d'un triangle ?
La hauteur d'un triangle est le segment perpendiculaire abaissé depuis un sommet jusqu'à la droite qui porte le côté opposé. Tout triangle possède trois hauteurs, une pour chaque côté. Ce calculateur détermine directement les trois hauteurs (\(h_a\), \(h_b\), \(h_c\)) à partir des longueurs des trois côtés, ainsi que l'aire du triangle.
Comment l'utiliser
Saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c dans une même unité. Le calculateur commence par déterminer l'aire avec la formule de Héron, puis divise le double de cette aire par chaque côté pour obtenir la hauteur correspondante. Vérifiez que vos trois côtés forment bien un triangle valide : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres.
La formule expliquée
L'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de la base par la hauteur, soit \(\text{Aire} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\). En isolant la hauteur, on obtient \(h_a = 2\cdot\text{Aire} / a\). Comme l'aire est identique quel que soit le côté choisi, on a aussi \(h_b = 2\cdot\text{Aire} / b\) et \(h_c = 2\cdot\text{Aire} / c\). L'aire elle-même provient de la formule de Héron :
$$\text{Aire} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$où \(s = \frac{a+b+c}{2}\) désigne le demi-périmètre.
Exemple résolu
Prenons un triangle rectangle 3-4-5 :
$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$$$\text{Aire} = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$On en déduit \(h_a = 2\cdot 6/3 = 4\), \(h_b = 2\cdot 6/4 = 3\) et \(h_c = 2\cdot 6/5 = 2{,}4\). Les hauteurs relatives aux deux cathètes sont égales à l'autre cathète, comme on s'y attend pour un triangle rectangle.
Foire aux questions
Les côtés les plus longs ont-ils les hauteurs les plus courtes ? Oui : puisque l'aire est fixe, la hauteur est inversement proportionnelle à son côté. Le côté le plus long correspond donc à la hauteur la plus petite.
Et si mes côtés ne forment pas un triangle ? Si la valeur sous la racine carrée est nulle ou négative, l'aire affichée est 0, ce qui signale un triangle dégénéré ou impossible.
Quelles unités sont utilisées ? Celles que vous voulez : les hauteurs sont exprimées dans la même unité de longueur que les côtés, et l'aire dans cette unité au carré.
