ما هو ارتفاع المثلث؟
ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة العمودية النازلة من أحد رؤوس المثلث إلى المستقيم الحامل للضلع المقابل لهذا الرأس. ولكل مثلث ثلاثة ارتفاعات، واحد لكل ضلع. تحسب هذه الأداة الارتفاعات الثلاثة جميعها (\(h_a\) و\(h_b\) و\(h_c\)) مباشرةً انطلاقًا من أطوال الأضلاع الثلاثة، إضافةً إلى مساحة المثلث.
طريقة الاستخدام
أدخل أطوال الأضلاع الثلاثة a وb وc بأي وحدة قياس موحّدة. تحسب الأداة المساحة أولًا باستخدام قانون هيرون، ثم تقسم ضِعف المساحة على كل ضلع للحصول على الارتفاع النازل عليه. تأكّد من أن الأضلاع الثلاثة تكوّن مثلثًا صحيحًا (أي أن طول كل ضلع أقل من مجموع طولَي الضلعين الآخرين).
شرح القانون
تساوي مساحة المثلث نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع، أي المساحة \(= \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\). وبحلّ المعادلة لإيجاد الارتفاع نحصل على \(h_a = 2\cdot\text{المساحة} / a\). وبما أن المساحة نفسها تنطبق على كل ضلع، فإن \(h_b = 2\cdot\text{المساحة} / b\) و\(h_c = 2\cdot\text{المساحة} / c\). أما المساحة فتُستخرج من قانون هيرون:
$$\text{المساحة} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \qquad s = \frac{a+b+c}{2}$$حيث \(s\) هو نصف المحيط.
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية بأبعاد 3-4-5: نحسب \(s = (3+4+5)/2 = 6\)، ثم المساحة \(= \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6\). ومنه
$$h_a = \frac{2\cdot 6}{3} = 4, \qquad h_b = \frac{2\cdot 6}{4} = 3, \qquad h_c = \frac{2\cdot 6}{5} = 2.4$$لاحظ أن الارتفاع النازل على كل ضلع قائم يساوي طول الضلع القائم الآخر، وهو أمر متوقع في المثلث القائم الزاوية.
الأسئلة الشائعة
هل يكون ارتفاع الضلع الأطول أقصر؟ نعم — فبما أن المساحة ثابتة، يتناسب الارتفاع عكسيًا مع طول ضلعه، ولذلك يكون للضلع الأطول أقصرُ ارتفاع.
ماذا لو كانت أضلاعي لا تكوّن مثلثًا؟ إذا كانت القيمة داخل الجذر التربيعي صفرًا أو سالبة، تظهر المساحة بقيمة 0، وهذا يدل على مثلث منحلّ أو مستحيل التكوين.
ما الوحدات المستخدمة؟ أي وحدة تختارها — فالارتفاعات تخرج بالوحدة الطولية نفسها المستخدمة للأضلاع، وتخرج المساحة بمربّع تلك الوحدة.
