Qué hace esta calculadora
Esta calculadora recupera los tres lados de un triángulo rectángulo cuando lo único que conoces es su perímetro P (la longitud total de su contorno) y su área A. Devuelve los dos catetos a y b (los lados que forman el ángulo recto) y la hipotenusa c, junto con los dos ángulos agudos. La solución es exacta y en forma cerrada — sin conjeturas ni iteraciones — y la calculadora comprueba primero si realmente puede existir un triángulo rectángulo con tu perímetro y tu área. Si no puede, te lo indica y muestra el área máxima que podría tener un triángulo rectángulo con ese perímetro.
Cómo usarla
- Introduce el perímetro P del triángulo rectángulo (un número positivo).
- Introduce el área A del triángulo rectángulo (un número positivo).
- Pulsa Calcular. Obtendrás el cateto menor a, el cateto mayor b, la hipotenusa c y los dos ángulos agudos, además de una fila de verificación que confirma que los lados reproducen tu perímetro y tu área.
Usa unidades coherentes: si el perímetro está en centímetros, el área debe estar en centímetros cuadrados y los lados se devuelven en centímetros. La calculadora en sí es independiente de las unidades.
La fórmula explicada
Un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c cumple tres condiciones a la vez — el perímetro, el área y el teorema de Pitágoras:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$Al elevar al cuadrado la suma de los catetos y aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$Como a + b = P − c, al sustituir y desarrollar se cancela el término c²:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$La suma de los catetos se deduce de inmediato:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$Conociendo la suma a + b y el producto ab = 2A, las fórmulas de Vieta indican que los dos catetos son las raíces de una ecuación de segundo grado:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$Solo existe solución cuando la hipotenusa es positiva y el discriminante no es negativo. Ambas condiciones se combinan en una única cota para el área:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$con igualdad exactamente para el triángulo rectángulo isósceles (a = b). Si tu área supera esta cota, no existe ningún triángulo rectángulo con ese perímetro y la calculadora te explica por qué en lugar de devolver números sin sentido.
Ejemplo resuelto
Supongamos que el perímetro es P = 30 y el área es A = 30.
- Suma de los catetos: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- Hipotenusa: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- Discriminante: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, por lo que √D = 7.
- Catetos: t = (17 ± 7) / 2, lo que da b = 12 y a = 5.
Comprobación: 5 + 12 + 13 = 30 coincide con el perímetro, (5 × 12) / 2 = 30 coincide con el área y 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² confirma el ángulo recto. Este es el clásico triángulo rectángulo 5–12–13.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la calculadora dice que no existe tal triángulo rectángulo? Para un perímetro fijo P, el área de un triángulo rectángulo no puede superar P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P², el valor que alcanza el triángulo rectángulo isósceles. Si tu área está por encima de esa cota, ninguna longitud de lados puede cumplir a la vez el perímetro, el área y el teorema de Pitágoras, así que la calculadora indica que el triángulo es imposible y muestra el área máxima factible.
¿Puede haber alguna vez dos triángulos distintos con el mismo perímetro y la misma área? No — para un triángulo rectángulo la solución es única. Las dos raíces de la ecuación de segundo grado son los dos catetos del mismo triángulo, así que intercambiarlas solo cambia las etiquetas de a y b. La calculadora siempre indica el cateto menor como a y el mayor como b.
¿El perímetro y el área tienen que estar en unidades compatibles? Sí. Introduce el perímetro en una unidad de longitud y el área en el cuadrado de esa misma unidad — por ejemplo, metros y metros cuadrados. Los tres lados se devuelven entonces en esa unidad de longitud.
