Máy tính này làm gì
Máy tính này khôi phục cả ba cạnh của một tam giác vuông khi bạn chỉ biết chu vi P (tổng độ dài đường bao quanh tam giác) và diện tích A của nó. Nó trả về hai cạnh góc vuông a và b (hai cạnh tạo nên góc vuông) cùng cạnh huyền c, kèm theo hai góc nhọn. Lời giải là chính xác và ở dạng đóng — không dò đoán hay lặp — và trước tiên máy tính sẽ kiểm tra xem một tam giác vuông với chu vi và diện tích của bạn có thể tồn tại hay không. Nếu không thể, nó sẽ báo cho bạn biết và hiển thị diện tích lớn nhất mà một tam giác vuông với chu vi đó có thể đạt được.
Cách sử dụng
- Nhập chu vi P của tam giác vuông (một số dương).
- Nhập diện tích A của tam giác vuông (một số dương).
- Nhấn Tính. Bạn sẽ nhận được cạnh góc vuông ngắn hơn a, cạnh góc vuông dài hơn b, cạnh huyền c và hai góc nhọn, cùng một dòng kiểm tra xác nhận rằng các cạnh tái tạo đúng chu vi và diện tích của bạn.
Hãy dùng đơn vị nhất quán: nếu chu vi tính bằng centimét thì diện tích phải tính bằng centimét vuông, và các cạnh sẽ được trả về theo centimét. Bản thân máy tính không phụ thuộc vào đơn vị.
Giải thích công thức
Một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c đồng thời thỏa mãn ba điều kiện — chu vi, diện tích và định lý Pythagoras:
$$a + b + c = P, \qquad \tfrac{1}{2}\,ab = A, \qquad a^2 + b^2 = c^2$$Bình phương tổng hai cạnh góc vuông rồi áp dụng định lý Pythagoras, ta được:
$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4A$$Vì a + b = P − c, thay vào và khai triển sẽ khử được số hạng c²:
$$(P - c)^2 = c^2 + 4A \;\;\Rightarrow\;\; P^2 - 2Pc = 4A \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{P^2 - 4A}{2P}$$Tổng hai cạnh góc vuông suy ra ngay lập tức:
$$a + b = P - c = \frac{P^2 + 4A}{2P}$$Biết tổng a + b và tích ab = 2A, theo định lý Viète, hai cạnh góc vuông chính là hai nghiệm của một phương trình bậc hai:
$$t^2 - (a+b)\,t + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad a,\,b = \frac{(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^2 - 8A} }{2}$$Nghiệm chỉ tồn tại khi cạnh huyền dương và biệt thức không âm. Cả hai điều kiện gộp lại thành một chặn duy nhất cho diện tích:
$$A \le \frac{P^2}{12 + 8\sqrt{2} } \approx 0.0429\,P^2$$với dấu bằng xảy ra đúng khi tam giác vuông cân (a = b). Nếu diện tích của bạn vượt quá chặn này thì không tồn tại tam giác vuông nào với chu vi đó, và máy tính sẽ giải thích lý do thay vì trả về những con số vô nghĩa.
Ví dụ minh họa
Giả sử chu vi là P = 30 và diện tích là A = 30.
- Tổng hai cạnh góc vuông: a + b = (P² + 4A) / (2P) = (900 + 120) / 60 = 1020 / 60 = 17.
- Cạnh huyền: c = P − (a + b) = 30 − 17 = 13.
- Biệt thức: D = (a + b)² − 8A = 289 − 240 = 49, nên √D = 7.
- Hai cạnh góc vuông: t = (17 ± 7) / 2, cho b = 12 và a = 5.
Kiểm tra: 5 + 12 + 13 = 30 khớp với chu vi, (5 × 12) / 2 = 30 khớp với diện tích, và 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² xác nhận góc vuông. Đây chính là tam giác vuông 5–12–13 kinh điển.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao máy tính báo không tồn tại tam giác vuông như vậy? Với một chu vi P cố định, diện tích của tam giác vuông không thể vượt quá P² / (12 + 8√2) ≈ 0.0429 P², giá trị đạt được bởi tam giác vuông cân. Nếu diện tích của bạn lớn hơn chặn này thì không có độ dài cạnh nào có thể đồng thời thỏa mãn chu vi, diện tích và định lý Pythagoras, nên máy tính báo rằng tam giác là bất khả thi và hiển thị diện tích khả thi lớn nhất.
Liệu có bao giờ tồn tại hai tam giác khác nhau với cùng chu vi và diện tích không? Không — với tam giác vuông thì lời giải là duy nhất. Hai nghiệm của phương trình bậc hai chính là hai cạnh góc vuông của cùng một tam giác, nên hoán đổi chúng chỉ là đổi nhãn a và b. Máy tính luôn báo cạnh góc vuông ngắn hơn là a và cạnh dài hơn là b.
Chu vi và diện tích có cần cùng hệ đơn vị không? Có. Hãy nhập chu vi theo một đơn vị độ dài và diện tích theo bình phương của chính đơn vị đó — ví dụ mét và mét vuông. Khi đó ba cạnh sẽ được trả về theo đơn vị độ dài ấy.
