Qu'est-ce qu'un triangle 45-45-90 ?
Un triangle 45-45-90 est un triangle rectangle isocèle : il possède un angle droit de 90° et deux angles égaux de 45°. Comme ses deux angles aigus sont identiques, les deux côtés de l'angle droit (les « cathètes ») ont la même longueur. Quant à l'hypoténuse, elle vaut toujours la longueur d'un côté multipliée par la racine carrée de 2. Cette forme parfaitement régulière rend le calcul de son aire particulièrement simple : une seule mesure suffit.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez d'abord si vous connaissez la longueur d'un côté ou celle de l'hypoténuse, puis saisissez cette valeur pour obtenir aussitôt l'aire. L'outil affiche également l'autre côté ainsi que le périmètre complet, ce qui vous permet de vérifier vos résultats. Toutes les valeurs sont exprimées dans l'unité que vous saisissez, l'aire étant indiquée en unités carrées.
La formule expliquée
Dans un triangle 45-45-90, les deux côtés de l'angle droit sont égaux. La formule classique de l'aire d'un triangle, \(\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\), devient donc \(\tfrac{1}{2} \times \text{côté} \times \text{côté}\), soit $$A = \dfrac{\text{côté}^2}{2}$$ Si vous ne connaissez que l'hypoténuse, rappelez-vous que \(\text{hypoténuse} = \text{côté} \cdot \sqrt{2}\), ce qui donne \(\text{côté}^2 = \dfrac{\text{hypoténuse}^2}{2}\). En remplaçant, on obtient $$A = \dfrac{\text{hypoténuse}^2}{4}$$
Exemple concret
Supposons que chaque côté mesure 10 unités. Alors $$A = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ unités carrées}$$ L'hypoténuse vaut \(10 \cdot \sqrt{2} \approx 14{,}142\) et le périmètre est de \(10 + 10 + 14{,}142 \approx 34{,}142\) unités. Si vous connaissiez plutôt l'hypoténuse, égale à \(14{,}142\), vous obtiendriez $$A = \frac{14{,}142^2}{4} \approx \frac{200}{4} = 50$$ soit exactement le même résultat.
Questions fréquentes
Pourquoi les deux côtés de l'angle droit sont-ils égaux ? Parce que les deux angles non droits mesurent tous deux 45°, les côtés qui leur sont opposés ont nécessairement la même longueur : le triangle est donc isocèle.
Quel est le rapport entre les côtés ? Les côtés sont toujours dans le rapport \(1 : 1 : \sqrt{2}\) (côté : côté : hypoténuse).
Puis-je utiliser n'importe quelle unité ? Oui. Saisissez la longueur dans l'unité de votre choix ; l'aire s'exprimera simplement dans cette unité au carré.
