Qu'est-ce que le calculateur de table des polynômes de Legendre associés ?
Cet outil calcule une table de valeurs de la fonction de Legendre associée \(P_n^m(x)\) (de degré n et d'ordre m) sur un intervalle de x choisi, puis trace la courbe correspondante. Il s'agit de mathématiques pures : le résultat est identique partout, sans unités ni hypothèse propre à un pays. Les polynômes de Legendre associés interviennent dans toute la physique et les mathématiques appliquées : harmoniques sphériques, résolution de l'équation de Laplace en coordonnées sphériques, développements multipolaires et mécanique quantique du moment cinétique.
Comment l'utiliser
Saisissez le degré entier n (0, 1, 2, ...) et l'ordre entier m vérifiant \(-n \le m \le n\). Choisissez la valeur initiale de x (comprise entre -1 et 1), le pas d'incrément et le nombre de lignes. Les valeurs par défaut n = 2, m = 1, début = -1, pas = 0,02 et 101 lignes balayent x de -1 à +1 inclus. Sélectionnez le Type A (convention Wolfram) ou le Type B (convention Maple) ; pour x réel dans (-1, 1), les deux coïncident en valeur absolue et ne diffèrent que par le signe ou la phase du préfacteur.
La formule expliquée
Pour n entier et \(0 \le m \le n\), on emploie
$$P_n^m(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\,\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)$$évaluée à l'aide de la récurrence numériquement stable \(P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}\), \(P_{m+1}^m = x(2m+1)P_m^m\), puis
$$(l-m)P_l^m = (2l-1)x\,P_{l-1}^m - (l+m-1)P_{l-2}^m.$$Pour m négatif, \(P_n^{-m} = (-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m\). Cette récurrence fermée évite l'explosion de la fonction Gamma qu'entraînerait la forme littérale en \({}_2F_1\) pour m entier positif.
Exemple résolu
Avec n = 2 et m = 1, la fonction s'écrit
$$P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}.$$En x = 0 la valeur est 0 ; en x = 0,5 elle vaut \(-3(0{,}5)(0{,}866025) = -1{,}299038\) ; en x = -0,5 elle vaut +1,299038. La courbe part de 0 (x = -1), monte jusqu'à environ +1,1547 près de x = -0,577, traverse zéro en x = 0, descend à environ -1,1547 près de x = +0,577, puis revient à 0 en x = +1.
Fonctions de Legendre associées sous forme fermée P_n^m(x)
Les fonctions de Legendre associées \(P_n^m(x)\) pour le degré entier \(n\) et l'ordre \(0\le m\le n\) suivent de \(P_n^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_n(x)\). Le facteur \((-1)^m\) est la phase de Condon–Shortley incluse dans la convention Type A (correspondant à Wolfram) ; la convention Type B (Maple) l'omet, de sorte que ses entrées pour \(m\) impair ne diffèrent que par le signe. Le tableau ci-dessous liste les formes explicites selon le Type A.
| \(n\) | \(m\) | \(P_n^m(x)\) (Type A, avec signe) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(1\) |
| 1 | 0 | \(x\) |
| 1 | 1 | \(-\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(3x^2-1)\) |
| 2 | 1 | \(-3x\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 2 | \(3(1-x^2)\) |
| 3 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)\) |
| 3 | 1 | \(-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2}\) |
| 3 | 2 | \(15x(1-x^2)\) |
| 3 | 3 | \(-15(1-x^2)^{3/2}\) |
À titre de vérification, avec \(x=0.5\), l'entrée \(P_2^1\) donne \(-3(0.5)\sqrt{1-0.25}=-1.5\sqrt{0.75}=\) -1.299038. La colonne \(m=0\) reproduit les polynômes de Legendre ordinaires \(P_n(x)\), par exemple \(P_3^0(x)=\tfrac12(5x^3-3x)\), qui peuvent être tabulés à l'aide de la calculatrice de table de polynômes de Legendre.
Termes clés et variables
- Degré \(n\)
-
Un entier non négatif (
degreeN) qui détermine l'ordre du polynôme de Legendre sous-jacent \(P_n(x)\), qui est un polynôme de degré \(n\). - Ordre \(m\)
-
Un entier (
orderM) contrôlant le nombre de dérivées prises. Pour obtenir des résultats réels sur \((-1,1)\), on utilise normalement \(0\le m\le n\) ; quand \(m>n\), la fonction est identiquement nulle car la dérivée \(m\)-ième d'un polynôme de degré \(n\) s'annule. - Argument \(x\)
-
Le point d'évaluation (
initialXplus \(i\cdot\)stepX). Les fonctions sont réelles pour \(-1\le x\le 1\) ; en physique, \(x=\cos\theta\). - Type A (Wolfram / Condon–Shortley)
-
Inclut le facteur de phase \((-1)^m\). C'est la convention utilisée par
LegendrePde Wolfram et les textes standard de mécanique quantique. - Type B (Maple)
- Omet le facteur de phase \((-1)^m\), de sorte que \(P_n^m\) (Type B) \(=(-1)^m\,P_n^m\) (Type A). Les valeurs absolues sont identiques ; seul le signe des entrées pour \(m\) impair diffère.
- Factorielle double \((2m-1)!!\)
- Le produit des entiers impairs \((2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1\), avec \((-1)!!=1\). Il apparaît dans le coefficient principal \(P_m^m(x)=(-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}\) ; par exemple, \(P_3^3\) utilise \(5!!=15\). Voir la calculatrice de factorielle double pour ces valeurs.
- Relation d'ordre négatif
- Pour \(m>0\), \(P_n^{-m}(x)=(-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}\,P_n^{m}(x)\), connectant les ordres positifs et négatifs par le biais de factorielles.
Interprétation du tableau et du graphique
Plusieurs propriétés structurales vous permettent de vérifier les valeurs tabulées et la courbe tracée :
- Parité. \(P_n^m(-x)=(-1)^{n+m}P_n^m(x)\). Quand \(n+m\) est pair, le graphique est symétrique par rapport à \(x=0\) ; quand \(n+m\) est impair, il est antisymétrique (et passe donc par l'origine).
- Zéros à l'intérieur. Sur l'intervalle ouvert \((-1,1)\), \(P_n^m(x)\) a exactement \(n-m\) zéros simples. Par exemple, \(P_3^1\) a deux zéros intérieurs, tandis que \(P_n^n\) n'en a aucun.
- Comportement aux bornes. En raison du facteur \((1-x^2)^{m/2}\), toute fonction avec \(m>0\) s'annule aux points \(x=\pm 1\). Pour \(m=0\), les valeurs sont \(P_n(1)=1\) et \(P_n(-1)=(-1)^n\).
- Ampleur près des bords. Pour \(m\) plus grand, le facteur \((1-x^2)^{m/2}\) supprime fortement la courbe lorsque \(x\to\pm1\), de sorte que les plus grandes oscillations se produisent vers le milieu de la plage.
Ces fonctions constituent la partie dépendant de \(\theta\) des harmoniques sphériques \(Y_n^m(\theta,\phi)\) : en écrivant \(x=\cos\theta\), on a \(Y_n^m\propto P_n^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}\). Les zéros intérieurs deviennent les cercles nodaux de latitude, et l'annulation aux bornes pour \(m>0\) correspond aux harmoniques tendant vers zéro aux pôles. Les mêmes valeurs \(P_n^m\) alimentent donc directement une évaluation des harmoniques sphériques à un \(\theta\) et \(\phi\) choisis.
FAQ
Pourquoi n et m doivent-ils être entiers ? La forme polynomiale finie exige un entier n positif ou nul ; la récurrence et les facteurs \((n \pm m)!\) imposent un entier m avec \(-n \le m \le n\).
Quelle est la valeur d'exemple affichée ? L'encadré principal indique x et \(P_n^m(x)\) à la ligne centrale de la table (l'indice médian), un repère rapide pour vérifier la courbe.
Que donne m = 0 ? \(P_n^0(x)\) n'est autre que le polynôme de Legendre ordinaire \(P_n(x)\).
