Qu'est-ce que la fonction d'erreur ?
La fonction d'erreur, notée \(\operatorname{erf}(x)\), est une fonction spéciale que l'on retrouve partout en probabilités, en statistiques ainsi que dans la théorie de la diffusion et de la conduction de la chaleur. On la définit comme le double de l'intégrale de la gaussienne (la fameuse courbe en cloche) entre 0 et x, normalisée de sorte que \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\). Elle est étroitement liée à la fonction d'erreur complémentaire, \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\), qui mesure l'aire située dans la queue de la distribution.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez n'importe quel nombre réel x : le calculateur vous renvoie à la fois \(\operatorname{erf}(x)\) et \(\operatorname{erfc}(x)\). Les valeurs positives comme négatives sont acceptées, car erf est une fonction impaire : \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\). Le résultat est sans dimension et se situe toujours entre \(-1\) et \(1\).
La formule expliquée
La fonction d'erreur n'a pas d'expression élémentaire en forme close : il faut donc l'évaluer numériquement. Cet outil s'appuie sur la célèbre approximation rationnelle-polynomiale 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun.
$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt, \qquad \operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$$Elle pose \(\tau = 1/(1 + px)\) avec \(p = 0{,}3275911\) et les coefficients \(a_1 = 0{,}254829592\), \(a_2 = -0{,}284496736\), \(a_3 = 1{,}421413741\), \(a_4 = -1{,}453152027\), \(a_5 = 1{,}061405429\). On obtient alors
$$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^{2} + a_3\tau^{3} + a_4\tau^{4} + a_5\tau^{5})\cdot e^{-x^{2}}$$L'erreur absolue maximale de cette approximation avoisine \(1{,}5 \times 10^{-7}\), soit une précision suffisante pour la quasi-totalité des applications d'ingénierie.
Exemple détaillé
Pour \(x = 1\) :
$$\tau = \frac{1}{1 + 0{,}3275911} \approx 0{,}753139$$En évaluant le polynôme puis en le multipliant par \(e^{-1}\), on trouve \(\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}842701\), ce qui correspond à la valeur exacte de \(0{,}8427008\). La valeur complémentaire vaut quant à elle \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0{,}157299\).
FAQ
Quelles valeurs peut prendre erf(x) ? Elle varie de \(-1\) (lorsque \(x \to -\infty\)) à \(+1\) (lorsque \(x \to +\infty\)), en passant par 0 en \(x = 0\).
Quelle est la précision du résultat ? L'approximation est exacte à environ 7 décimales près (erreur \(< 1{,}5\mathrm{e}{-7}\)).
À quoi sert erfc ? La fonction d'erreur complémentaire est courante pour les probabilités de queue, le calcul des taux d'erreur binaire en télécommunications et la résolution de l'équation de diffusion.
