什麼是誤差函數？
誤差函數（寫作 \(\operatorname{erf}(x)\)）是一個特殊函數，廣泛出現在機率、統計，以及擴散與熱傳導等理論中。它的定義是高斯分布（鐘形曲線）從 0 到 x 的積分的兩倍，並經過正規化使得 \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\)。與它密切相關的是互補誤差函數 \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\)，用來衡量分布尾端所佔的面積。
如何使用這個計算機
只要輸入任意實數 x，計算機就會同時回傳 \(\operatorname{erf}(x)\) 與 \(\operatorname{erfc}(x)\)。正數與負數都支援，因為 erf 是奇函數：\(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\)。計算結果為無因次值，且永遠落在 −1 與 1 之間。
公式說明
誤差函數沒有基本的封閉形式解，因此必須以數值方式求得。本工具採用經典的 Abramowitz & Stegun 有理多項式近似公式 7.1.26。它令 \(\tau = \frac{1}{1 + px}\)，其中 \(p = 0.3275911\)，係數分別為 \(a_1 = 0.254829592\)、\(a_2 = -0.284496736\)、\(a_3 = 1.421413741\)、\(a_4 = -1.453152027\)、\(a_5 = 1.061405429\)。接著計算 $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - \left(a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5\right)\cdot e^{-x^2}.$$此近似法的最大絕對誤差約為 \(1.5 \times 10^{-7}\)，對於絕大多數工程應用而言都已綽綽有餘。
實例演算
以 \(x = 1\) 為例：\(\tau = \frac{1}{1 + 0.3275911} \approx 0.753139\)。將多項式代入並乘上 \(e^{-1}\)，可得 \(\operatorname{erf}(1) \approx 0.842701\)，與真實值 \(0.8427008\) 相符。對應的互補值則為 \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0.157299\)。
常見問題
erf(x) 的取值範圍是多少？它的範圍從 −1（當 \(x \to -\infty\)）到 +1（當 \(x \to +\infty\)），並在 \(x = 0\) 時通過 0。
計算結果有多精確？此近似法可精確到約小數點後 7 位（誤差 \(< 1.5\mathrm{e}{-7}\)）。
erfc 有什麼用途？互補誤差函數常見於尾端機率計算、通訊系統的位元錯誤率（bit-error rate），以及擴散方程式的解。
