反誤差函數與反互補誤差函數計算器

輸入計算

y（無因次） erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

顯示位數 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

結果

Inverse Error Function erf^-1(y)

0.2724628197

使 erf(x) = y 成立的 x 值

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0.7328691494
輸入 y	0.3

反誤差函數計算器是什麼？

這個工具可針對給定的無因次參數 y，計算反誤差函數 erf^-1(y) 與反互補誤差函數 erfc^-1(y)。誤差函數 erf(x) = (2/√π) ∫₀^x e^-t² dt 廣泛出現在機率、擴散與訊號處理等問題中。而它的反函數則回答相反的問題：已知某個數值 y，要找出哪個 x 能使 erf(x) = y。

使用方式

輸入一個 y 值，並選擇想要顯示的位數。對 erf^-1 而言，有效範圍為 -1 < y < 1；對 erfc^-1 而言，有效範圍為 0 < y < 2。由於 erfc(x) = 1 - erf(x)，兩個輸出之間存在恆等關係：erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y)。在邊界處結果會發散至 ±∞（例如 erf^-1(1) = +∞）。

公式解析

erf^-1 並沒有初等的封閉解。我們先以 Giles（2010）提出的有理近似作為起始值，其精度約為 1e-7，接著再透過牛頓法進一步修正：x_n+1 = x_n - (erf(x_n) - y) / ((2/√π) e^-x_n²)。其中 erf 的導數為 (2/√π) e^-x²。持續迭代直到殘差 |erf(x_n) - y| 小於 1e-15，即可達到完整的雙精度。

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erf^-1 定義在 (-1,1) 上；erfc^-1 定義在 (0,2) 上，等於 erf^-1(1-y)。

反誤差函數求出使其 erf 等於給定 y 的 x。

實例演算

以 y = 0.3 為例：erf^-1(0.3) ≈ 0.2724627，因為 erf(0.2724627) ≈ 0.3。接著 erfc^-1(0.3) = erf^-1(1 - 0.3) = erf^-1(0.7) ≈ 0.7328691，使得 erfc(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3。

常見問題

為什麼 erf^-1 與 erfc^-1 在 y = 0.5 時相等？因為 erfc^-1(0.5) = erf^-1(1 - 0.5) = erf^-1(0.5)；兩者的參數只有在 y = 0.5 時才會完全一致。

在定義域邊界會發生什麼？erf^-1(±1) = ±∞，而 erfc^-1(0) = +∞、erfc^-1(2) = -∞。若輸入超出定義域，會回傳錯誤。

erf^-1 是奇函數嗎？是的：erf^-1(-y) = -erf^-1(y)。