什麼是 arcsn(x, k)？
反雅可比橢圓正弦函數，記作 arcsn(x, k)，要回答的問題是：給定一個數值 x 與橢圓模數 k，哪一個自變量 u 會使 sn(u, k) = x 成立？這裡的 sn 是雅可比橢圓正弦，它是一般正弦函數的雙週期推廣，廣泛出現在單擺運動、非線性振盪、保角映射以及某些微分方程的求解之中。本工具屬於純數學運算，普遍適用，不受任何國家或地區的規則限制。
計算公式
arcsn(x, k) 恰好等於以振幅 phi = arcsin(x) 為上限的第一類不完全橢圓積分：
\(\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k)\)，即 \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\) 從 0 積分到 \(\arcsin x\)；等價地，也等於 \(dt / \sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}\) 從 0 積分到 x。本計算器採用模數慣例 k（因此參數為 \(m = k^2\)）。計算則使用 Carlson 對稱形式 $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^2,\; 1 - k^2 x^2,\; 1\right)$$ 其中 \(R_F\) 以收斂極快的倍元演算法求值。此法可達到完整的雙精度結果，並為精確的封閉形式解。
使用方式
在 -1 到 1 的範圍內輸入 x，並在 0 到 1 的範圍內輸入模數 k，即可讀出 u 值。精度選項僅控制顯示的位數多寡；底層運算一律採用雙精度（約 15 位有效數字）。
範例演算
當 x = 0.7、k = 0.8 時：$$\operatorname{arcsn} = 0.7 \cdot R_F(0.51,\, 0.6864,\, 1) \approx 0.7 \cdot 1.18218 \approx 0.82753$$可以這樣驗算：若 k = 0，結果應為 \(\arcsin(0.7) = 0.77540\)；由於 k = 0.8 使被積函數的分母小於 1，積分值因而變大，所以 \(u > 0.7754\)，與 0.8275 的結果相符。
常見問題
當 k = 0 時會發生什麼？被積函數化簡為 1，因此 \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\)。
當 k = 1 時會發生什麼？$$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$當 x 趨近 \(\pm 1\) 時會發散。
當 k < 1 時，arcsn(±1, k) 的值為何？它等於 \(\pm K(k)\)，即第一類完全橢圓積分，為一有限值。唯有 k = 1 且 x = ±1 同時成立時才會發散。
