ما هي الدالة arcsn(x, k)؟
دالة جيب جاكوبي الإهليلجي العكسية، التي تُكتب arcsn(x, k)، تجيب عن السؤال التالي: إذا أُعطيت قيمة \(x\) ومعامل إهليلجي \(k\)، فما هي القيمة \(u\) التي تجعل \(\operatorname{sn}(u, k) = x\)؟ هنا، \(\operatorname{sn}\) هي دالة جيب جاكوبي الإهليلجية، وهي تعميم مزدوج الدورية لدالة الجيب الاعتيادية، وتظهر بكثرة في نظرية حركة البندول، والمذبذبات اللاخطية، والتحويلات المطابقة، وحل أنواع معينة من المعادلات التفاضلية. هذه الأداة رياضية بحتة وتنطبق في كل مكان دون استثناء.
الصيغة الرياضية
إن arcsn(x, k) هي بالضبط التكامل الإهليلجي الناقص من النوع الأول المحسوب عند السعة \(\phi = \arcsin(x)\):
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_{0}^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\theta}}$$ وهو يكافئ \(\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}}\). تعتمد هذه الحاسبة على اصطلاح المعامل \(k\) (أي أن البارامتر هو \(m = k^{2}\)). ويُحسب باستخدام صيغة كارلسون المتماثلة $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2}x^{2},\; 1\right)$$ حيث تُحسب \(R_F\) عبر خوارزمية المضاعفة سريعة التقارب. وهذا يمنح دقة مزدوجة كاملة ويُعدّ صيغة مغلقة مضبوطة.
كيفية الاستخدام
أدخل قيمة \(x\) ضمن المجال من \(-1\) إلى \(1\)، والمعامل \(k\) ضمن المجال من \(0\) إلى \(1\)، ثم اقرأ قيمة \(u\). يتحكم محدِّد الدقة فقط في عدد الأرقام المعروضة؛ أما الحساب الأساسي فيجري بدقة مزدوجة (نحو 15 رقماً معنوياً).
مثال محلول
عند \(x = 0.7\) و \(k = 0.8\): $$\operatorname{arcsn} = 0.7 \cdot R_F(0.51,\, 0.6864,\, 1) \approx 0.7 \cdot 1.18218 \approx 0.82753$$ وللتحقق من صحة النتيجة، نلاحظ أنه عند \(k = 0\) ستكون النتيجة \(\arcsin(0.7) = 0.77540\)؛ ولأن \(k = 0.8\) يجعل مقام الدالة المُكامَلة أصغر من \(1\)، فإن قيمة التكامل تكبر، ومن ثَمّ \(u > 0.7754\)، وهو ما يتوافق مع القيمة \(0.8275\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما \(k = 0\)؟ تتحول الدالة المُكامَلة إلى \(1\)، فيكون \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\).
ماذا يحدث عندما \(k = 1\)؟ يصبح $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ وهو يتباعد إلى ما لا نهاية كلما اقتربت \(x\) من \(\pm 1\).
ما قيمة \(\operatorname{arcsn}(\pm 1, k)\) عندما \(k < 1\)؟ تساوي \(\pm K(k)\)، أي التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، وهي قيمة منتهية. وحدها الحالة التي يجتمع فيها \(k = 1\) مع \(x = \pm 1\) هي التي تتباعد.
