ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تُعيد حاسبة الدوال المثلثية العكسية الزاوية التي يساوي جيبها أو جيب تمامها أو ظلها أو ظل تمامها أو قاطعها أو قاطع تمامها قيمةً تُدخلها أنت. اختر إحدى الدوال العكسية الست (arcsin، arccos، arctan، arccot، arcsec، arccsc)، ثم أدخل المتغير \(x\)، وحدّد ما إذا كنت تريد الناتج بالدرجات أم بالراديان. كما تعرض الأداة المجال الصالح للإدخال ومدى القيمة الأساسية، حتى تعرف بدقة أي فرع من فروع الدالة يجري استخدامه.
طريقة الاستخدام
1. اختر الدالة العكسية من القائمة المنسدلة. 2. أدخل قيمة \(x\). 3. حدّد وحدة الناتج (درجات أو راديان). تحسب الأداة الزاوية وتعرض التعبير الرياضي، ومجال \(x\)، ومدى الناتج. وإذا وقعت قيمة \(x\) خارج مجال الدالة، فإنها تُظهر رسالة واضحة بدلاً من إعطاء رقم غير صالح.
شرح الصيغة
تُحسب جميع القيم داخلياً بالراديان باستخدام الدوال القياسية للمكتبة، ثم تُحوّل إلى درجات عبر المعامل \(180/\pi\) عند الحاجة. وبالنسبة لدالة ظل التمام العكسية نعتمد الاصطلاح المتصل $$\theta = \frac{\pi}{2} - \arctan(x),$$ الذي يعطي مدى قدره \((0, \pi)\) ويتجنّب القسمة على صفر عند \(x = 0\). أما الدالتان العكسيتان للقاطع وقاطع التمام فتستخدمان المتطابقتين العكسيتين $$\operatorname{arcsec}(x) = \arccos\frac{1}{x}, \quad \operatorname{arccsc}(x) = \arcsin\frac{1}{x},$$ وهما صالحتان فقط حين يكون \(|x| \ge 1\).
مثال محلول
لإيجاد \(\arcsin(0.5)\) بالدرجات: $$\arcsin(0.5) = 0.5235987756 \text{ راديان}, \quad 0.5235987756 \times \frac{180}{\pi} = 30°.$$ ولإيجاد \(\arctan(1)\) بالراديان يكون الناتج \(\frac{\pi}{4} \approx 0.7853981634\) راديان (\(45°\)). ولإيجاد \(\operatorname{arccot}(-1)\) باصطلاح المدى \((0, \pi)\): $$\frac{\pi}{2} - \arctan(-1) = 135°.$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون arcsin للعدد 2 غير معرّفة؟ لأن جيب الزاوية لا يتجاوز أبداً القيمة 1، لذا لا تقبل الدالتان arcsin و arccos إلا قيم \(x\) بين \(-1\) و \(1\).
لماذا تعطي arccot(−1) الناتج 135° وليس −45°؟ لأن هذه الحاسبة تعتمد اصطلاح المدى \((0, \pi)\)، الذي يُبقي دالة arccot متصلة على جميع قيم \(x\) الحقيقية.
ما هي القيم الأساسية؟ الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم، لذا تُعيد كل دالة فرعاً قياسياً واحداً (القيمة الأساسية) يظهر في صف المدى.
